Можно ли делить на ноль?

Каждый ещё со школы помнит, что на ноль делить нельзя. Младшеклассникам никогда не объясняют, почему так поступать не следует. Просто предлагают принять это как данность наравне с другими запретами вроде «нельзя совать пальцы в розетки» или «не стоит задавать взрослым глупые вопросы».

Число 0 можно представить, как некую границу, отделяющую мир реальных чисел от мнимых или отрицательных. Благодаря двусмысленному положению, многие операции с этой числовой величиной не подчиняются математической логике. Невозможность деления на нуль – яркий тому пример. А разрешенные арифметические действия с нулем могут быть выполнены с помощью общепринятых определений.

Алгебраическое объяснение невозможности деления на ноль

С точки зрения алгебры, делить на ноль нельзя, так как это не имеет никакого смысла. Возьмём два произвольных числа, a и b, и умножим их на ноль. a × 0 равно нолю и b × 0 равно нолю. Получается, что a × 0 и b × 0 равны, ведь произведение в обоих случаях равно нолю. Таким образом, можно составить уравнение: 0 × a = 0 × b. А теперь предположим, что мы можем делить на ноль: разделим обе части уравнения на него и получим, что a = b. Получается, что если допустить операцию деления на ноль, то все числа совпадают. Но 5 не равно 6, а 10 не равно ½. Возникает неопределённость, о которой пытливым младшеклассникам учителя предпочитают не рассказывать.

Существует ли операция 0:0?

Действительно, если операция умножения на 0 законна, можно ли ноль разделить на ноль? Ведь уравнение вида 0х 5=0 вполне легально. Вместо числа 5 можно поставить 0, произведение от этого не поменяется. Действительно, 0х0=0. Но поделить на 0 по-прежнему нельзя. Как было сказано, деление – это просто обратная операция умножения. Таким образом, если в примере 0х5=0, нужно определить второй множитель, получаем 0х0=5. Или 10. Или бесконечность. Деление бесконечности на ноль — как вам это понравится? Но если в выражение подходит любое число, то оно не имеет смысла, мы не можем из бесконечного множества чисел выбрать какое-то одно. А раз так, это значит и выражение 0:0 не имеет смысла. Получается, что на ноль нельзя делить даже сам ноль.

Объяснение невозможности деления на ноль с точки зрения матанализа

В старших классах изучают теорию пределов, которая также говорит о невозможности деления на ноль. Это число там трактуется как «неопределённая бесконечно малая величина». Так что если мы в рамках этой теории рассмотрим уравнение 0 × X = 0, то обнаружим, что X нельзя найти потому, что для этого пришлось бы разделить ноль на ноль. А это также не имеет никакого смысла, так как и делимое, и делитель в таком случае представляют из себя неопределённые величины, следовательно, нельзя сделать вывод об их равенстве или неравенстве.

Когда на ноль делить можно?

В отличие от школьников, студентам технических вузов на ноль делить можно. Операцию, которая в алгебре является невозможной, можно произвести в других сферах математического знания. В них появляются новые дополнительные условия задачи, которые допускают это действие. Делить на ноль можно будет тем, кто прослушает курс лекций по нестандартному анализу, изучит дельта-функцию Дирака и ознакомится с расширенной комплексной плоскостью.

История нуля

Ноль является точкой отсчета во всех стандартных системах исчисления. Европейцы стали использовать это число сравнительно недавно, но мудрецы Древней Индии пользовались нулем за тысячу лет до того, как пустое число стало регулярно использоваться европейскими математиками. Ещё раньше индийцев ноль являлся обязательной величиной в числовой системе майя. Этот американский народ использовал двенадцатеричную систему исчисления, а нулем у них начинался первый день каждого месяца. Интересно, что у майя знак, обозначающий «ноль», полностью совпадал со знаком, определяющим «бесконечность». Таким образом, древние майя делали вывод о тождественности и непознаваемости этих величин.

Высшая математика

Деление на ноль — это головная боль для школьной математики. Изучаемый в технических вузах математический анализ немного расширяет понятие задач, которые не имеют решения. Например, к уже известному выражению 0:0 добавляются новые, которые не имеют решения в школьных курсах математики: бесконечность, разделенная на бесконечность: ∞:∞; бесконечность минус бесконечность: ∞−∞; единица, возведенная в бесконечную степень: 1∞; бесконечность, умноженная на 0: ∞*0; некоторые другие.

Элементарными методами решить такие выражения невозможно. Но высшая математика благодаря дополнительным возможностям для ряда подобных примеров дает конечные решения. Особенно это видно в рассмотрении задач из теории пределов.

Раскрытие неопределенности

В теории пределов значение 0 заменяется условной бесконечно малой переменной величиной. А выражения, в которых при подставлении нужного значения получается деление на ноль, преобразовываются.

Ниже представлен стандартный пример раскрытия предела при помощи обычных алгебраических преобразований: Как видно в примере, простое сокращение дроби приводит ее значение к вполне рациональному ответу.

При рассмотрении пределов тригонометрических функций их выражения стремятся свести к первому замечательному пределу. При рассмотрении пределов, в которых знаменатель обращается в 0 при подставлении предела, используют второй замечательный предел.

Метод Лопиталя

В некоторых случаях пределы выражений можно заменить пределом их производных. Гийом Лопиталь – французский математик, основоположник французской школы математического анализа. Он доказал, что пределы выражений равны пределам производных этих выражений.

В математической записи его правило выглядит следующим образом.

В настоящее время метод Лопиталя с успехом применяется при решении неопределенностей типа 0:0 или ∞:∞.