Открытая российская математическая интернет-олимпиада для школьников "Зима-2015"

Сегодня получил Благодарность Санкт-Петербургской академии постдипломного педагогического образования за отличную подготовку учащихся к математической интернет-олимпиаде "Зима-2015". Победителями и призерами стали 28 моих учащихся из гимназии № 1 г. Ивье и Ивьевской СШ. Особенно приятно то, что Дипломы третьей степени получили две гимназистки-шестиклассницы Путик Елизавета и Клебеко Анастасия, участвуя в олимпиадах для седьмого и восьмого классов. Приведу здесь задания интернет-олимпиады для 8 класса.

1.Найдите наибольшее двузначное число, сумма десятков и единиц которого, сложенная с их разностью, равна 16. Известно, что если между цифрами этого числа вставить цифру 9, то образовавшееся трёхзначное число будет в 11 раз больше искомого.

2.Если от задуманного трёхзначного числа отнять 8, то получившееся число разделится на 8. Если от задуманного числа отнять 9, то результат разделится на 9. А если к числу прибавить 13, то результат разделится на 13. Какое число было задумано?

3.Решите уравнение: |||x|−1|−1|=1. Назовите больший корень уравнения.

4.При каком значении параметра a неравенство (a−x)(3−x) ≤ 0 имеет единственное решение?

5.10 лет назад возраста Ани, Бори и Вали относились как 1:3:7. Сейчас возраст Ани относится к возрасту Бори как 4:7. Сколько сейчас лет Вале? Дайте ответ в годах.

6.При каких значениях k три прямые: y=3x−1; y=2x+5 и y=kx−13 пересекаются в одной точке?

7.Расшифруйте запись: АФ^Р=ИКА. Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным – разные. Найдите значение суммы И+К+Р+А.