Применение диаграмм Эйлера-Вена для решения задач математики и информатики

.1 История возникновения кругов Эйлера-Вена

Леонард Эйлер (1707 – 1783) (Приложение 1. Рисунок 1) родился в маленькой тихой Швейцарии. Эйлер принадлежит к числу гениев, чьё творчество стало достоянием всего человечества. До сих пор школьники всех стран изучают некоторые разделы математики в том виде, какой придал им Эйлер. Студенты проходят высшую математику по классической монографии Эйлера. Он был прежде всего математиком. Но всегда подчеркивал практическую деятельность расцвета математики. Он оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук. Его называли идеальным математиком 18 века.

Леонард Эйлер написал более 850 научных работ. В одной из них и появились круги. А впервые он их использовал в письмах к немецкой принцессе. Эйлер писал тогда, что «круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». Позднее аналогичный прием использовал ученый Джон Венн — британский логик и философ и этот приём назвали «диаграммы Венна», который используется во многих областях: теория множеств, теория вероятностей, логики, статистики, компьютерных науках.

При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов и они получили название «круги Эйлера-Венна».

Этот метод даёт более наглядное представление о возможном способе изображения условий, зависимости, отношений в логических задачах.

1.2 Графическое представление отношения между множествами кругами Эйлера

Круги́ Э́йлера — графическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между множествами для наглядного представления.

С множествами можно выполнять определенные операции. Операции над множествами рассматриваются для получения новых множеств из уже существующих. К основным операциям, которые можно выполнять над множествами, относятся следующие:

Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В (Приложение 2. рис. 1). Такое отношение существует между объемом понятий «самые умные девочки класса» и «самые умные мальчики класса» образуют новое множество «самые умные ученики класса»

Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно как множеству А, так и множеству В (Приложение 2. рис. 2).

Такое отношение существует между объемом понятий «студент» и «спортсмен». Некоторые (но не все) студенты являются спортсменами; некоторые (но не все) спортсмены являются студентами.

Разностью множеств А и В называется множество всех тех и только тех элементов А, которые не содержатся в В (Приложение 2. рис. 3).

Такое отношение существует между объемом понятий «студент» и «спортсмен». И это только та часть студентов, которые действительно не являются спортсменами.

Симметрической разностью множеств А и В называется множество элементов этих множеств, которые принадлежат либо только множеству А, либо только множеству В (Приложение 2. рис. 4).

Такое отношение существует между объемом понятий «студент» и «спортсмен». И это только та часть студентов, которые действительно не являются спортсменами или та часть спортсменов, которая не является студентами.

Абсолютным дополнением множества А называется множество всех тех элементов, которые не принадлежат множеству А (Приложение 2. рис. 5):

Такое именно отношение существует, например, между понятиями «тупоугольный треугольник» и «остроугольный треугольник». В объеме понятия «тупоугольный треугольник» не отображается ни один остроугольный треугольник, а в объеме понятия «остроугольный треугольник» не отображается ни один тупоугольный треугольник.

1.3 Практическое применение кругов Эйлера

Графические изображения, сделанные с использованием кругов Эйлера, существенно упрощают понимание сложных математических формулировок и наглядно отражают суть определений.

Круги Эйлера – метод, позволяющий развивать математические представления и использовать их при изучении окружающего нас мира.

Какие задачи можно решить с помощью кругов Эйлера? Удобнее всего, логические задачи на пересечение и объединение множеств.

Множеств может быть два, а может быть и больше. Чем больше множеств, тем труднее становится решить задачу.

С помощью кругов Эйлера на практике можно решать задачи логики, биологии, философии и других областей. Проиллюстрируем это на примерах.

Например, кругами Эйлера можно изобразить высказывание: «Все квадраты являются прямоугольниками». (Приложение 3. Рис. 6)

Можно проанализировать ситуацию поиска целевой аудитории в каком-то городе людей в возрасте от 18 до 35 лет, зарегистрированных одновременно в известных социальных сетях «В контакте» и «Одноклассники». (Приложение 3. Рис. 7). Искомая область находится на пересечении трех областей.

Применять круги Эйлера удобно в маркетинге и рекламе. В данных областях круги Эйлера могут самым наглядным способом передать важнейшую информацию. (Приложение 3. Рис. 8)

Следовательно, используя круги Эйлера можно решать задачи в различных областях деятельности человека.