Тема: Трапеция

1. Тема урока: Трапеция
2. Тип урока: урок объяснения нового материала
3. Цели урока:

Образовательные:

- дать определение трапеции, равнобокой трапеции;

- познакомить обучающихся со свойствами средней линии трапеции;

- научить доказывать теорему о средней линии трапеции.

Развивающие:

- развивать графическую грамотность;

- развивать внимание, математическую речь учащихся;

- развивать логическое мышление (учить анализировать, доказывать и опровергать).

Воспитательные:

- воспитывать аккуратность и точность при построении чертежей;

- воспитывать и стимулировать интерес к математике;

- воспитывать рациональную организацию труда учащихся.

9. Оборудование: чертежи, таблица.

10. Ход урока

I. Организационный этап.

II. Объяснение нового материала

1. Вводятся определения трапеции, основаниям трапеции, боковым сторонам, средней линии.

Обучающиеся строят трапецию с основаниями ВС и АD и среднюю линию трапеции, записывают: АВ ? СD, а ВС? АD.

С помощью модели шарнирного четырёхугольника вводится понятие равнобокой трапеции. Обучающиеся строят равнобокую трапецию с основаниями ВС и АD и записывают равенство: АВ = СD.

2. Устная работа с классом – первоначальное закрепление

(чертежи для устной работы с классом заготовлены на обратной стороне доски)

Задание 1: Какие из данных четырёхугольников можно назвать трапецией? Почему? Назовите основания и боковые стороны трапеции.

?А = 70^? , 110^? = В?

Предполагаемые ответы обучающихся:

трапеции АВСМ, так как ВС ? АМ (по теореме о внутренних односторонних углах), OSTR, так как ST ? OR (по определению средней линии трапеции), В₁ВСС₁, так как

ВВ₁ ? СС₁(перпендикуляры к АС₁).

Задание 2: В трапеции МHPK проведён отрезок РЕ ? КМ. Определите вид четырёхугольника MКPE.

Предполагаемый ответ обучающихся: MКPE – параллелограмм, так как КP ? ME (по определению трапеции), КМ ? РЕ (по построению).

Задание 3: В равностороннем треугольнике АВС со стороной 8 см проведена средняя линия DЕ. Определите вид четырёхугольника АDЕС. Чему равны стороны этого четырёхугольника?

Предполагаемый ответ обучающихся: четырёхугольник АDЕС – трапеция (по определению средней линии треугольника DE ? AC),

АD = DE = EC = 4см.

3. Подготовка обучающихся к восприятию доказательства теоремы о средней линии трапеции.

Обучающимся предлагается решить задачу (рисунок и условие заранее заготовлены на доске).

Дано: АВСD – трапеция, прямая ВМ пересекает прямую АD

в точке К, СМ = МD.

Доказать: 1) ВМ = МК;

2) АК = АD + DК.

Учителем предлагается:

1. проверить с помощью рисунка, сделанного в тетрадях обучающимися, имеет ли средняя линия трапеции такие же свойства как средняя линия треугольника. Ученики делают вывод, что средняя линия трапеции параллельна её основаниям, но не равна половине её нижнего основания;
2. измерить основания трапеции и её среднюю линию и установить связь между ними.

4. Доказательство теоремы о средней линии трапеции.

Учитель говорит формулировку теоремы, на доске делает рисунок и записывает условие.

Теорема: средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

После выполнения дополнительных построений и успешного доказательства теоремы намечается план доказательства.

План доказательства.

1. Выполняем дополнительные построения (отрезок ВЕ);
2. Доказываем, что QР – средняя линия треугольника АВЕ.
3. Используем свойства средней линии треугольника;
4. Доказываем параллельность прямых QP и ВС.

(Работу над доказательством можно организовать иначе: в «сильных» классах после дополнительных построений учащимся можно предложить самостоятельно доказать теорему по указанному плану. В «слабых» классах можно использовать простую модель. Из плотного листа бумаги вырезать трапецию АВСD вместе с треугольником РDЕ. На трапеции изображена средняя линия РQ и отрезок ВР. Сначала учащимся показывается только трапеция АВСD без треугольника DPE (он загнут по прямой СD). Как только учащиеся выполнят дополнительные построения, этот треугольник отворачивается и появляется изображение. Чтобы рассмотреть треугольник АВЕ, нужно загнуть модель по прямой ВР, исчезает треугольник ВСР, остаётся треугольник АВЕ с его средней линией QP.

III. Формирование умений и навыков

Устно:

1. Докажите способом от противного, что средняя линия трапеции не проходит через точку пересечения диагоналей;
2. Как следует изменить длину оснований a и b, чтобы средняя линия трапеции увеличилась в 2 раза?
3. Одно из оснований трапеции в 3 раза больше другого. Средняя линия трапеции равна 12см. Найдите каждое основание трапеции.

№69

В₁С₁ – средняя линия трапеции А₁ВСD₁. Обозначим В₁С₁ за y м. А₁D₁ – средняя линия трапеции АВ₁С₁D. Обозначим длину А₁D за х м.

В₁С₁ = (2+Х)/2, следовательно у = (2+х)/2, следовательно 2у = 2+х

А₁D₁ = (у+5)/2, следовательно х = (у+5)/2, следовательно 2х = у+5, следовательно у = -5+2х.

Составим и решим систему уравнений:

2у = 2+х,

у = -5+2х;

2(2х-5) = 2+х,

х = 4,

у = 3.

Следовательно, В₁С₁ = 3м, А₁D₁ = 4м

Ответ: 4м, 3м.

IV. Подведение итогов урока

Учитель: Подведём итоги. Что нового узнали сегодня на уроке?

V. Домашнее задание

П. 59, вопросы 17-19, №61