Задача о двух конвертах

Разбор неопределённости (задача о двух конвертах)

Старинный анекдот звучит так: - Какова вероятность встретить на центральной площади динозавра? - Одна вторая! Или встречу, или не встречу. Главный смысл, который не все извлекают из этого анекдота, состоит в следующем: если у дающего ответ недостаточно информации, то это не значит, что разумно будет считать все возможные варианты равновероятными. Поясню: - если речь идёт о центральной площади Планеты динозавров, то вероятность становится очень большой - там почти всегда гуляют динозавры, - если речь идёт о центральной площади Планеты роботов, то вероятность крайне мала - динозавры там просто не могут возникнуть из-за отсутствия атмосферы (разве только кто-то привезёт в аквариуме динозавра с Планеты динозавров). Вернёмся к парадоксу двух конвертов. Напомню, что у нас есть два конверта, в одном из которых находится вдвое большая сумма, чем в другом. Допустим, мы открыли конверт, в котором ровно 10 денег. Далее следует обман, который не так легко разглядеть - авторы статьи говорят: «Стало быть, в другом конверте лежат либо $5, либо $20 с вероятностью 50 х 50». Хочется читать статью дальше, потому что это утверждение кажется очевидным. Но надо остановиться и подумать, а не герои ли мы анекдота. Только что мы специально доказали, что все лошади одного цвета (более того, чтобы жизнь мёдом не казалась, мы надёжно установили, что это лиловый цвет). Там было очевидно, что в доказательстве есть обман (почти каждый человек видел лошадей разных цветов). В этой же задачке всё не так очевидно, потому что вокруг много магических слов: «редукция кота Шрёдингера», «свыше 20 миллионов компьютерных симуляций», «Броуновский храповик», «Накачка волатильности». (вспоминается разговор о массовой утере культуры научно-популярной литературы). Поэтому суть обмана заметить не так легко. Но вполне возможно. Представьте себе, что Якубович каждый раз кладёт в конверты 10 и 20 рублей. Если в выбранном конверте 10 рублей, то с какой вероятностью во втором будет 5, а с какой 20? Ясно, что во втором с вероятностью 100% будет 20 рублей (иначе быть не могло). Если Якубович кладёт в первый конверт случайную сумму от 1 до 100 рублей, а во второй - в два раза больше, то всё будет иначе: если в выбранном конверте больше 100 рублей, то во втором абсолютно точно будет в два раза меньше (опять никаких 50х50 не получается). А вот если меньше или ровно 100, то имеет смысл попробовать взять второй конверт - так и впрямь будет выгоднее :) Кто-то скажет, что принцип укладывания денег в конверты не был оговорён в условии, было известно только, что в одном конверте сумма в два раза больше, чем в другом. Но ведь об этом и речь! Мы не можем знать, с какой вероятностью во втором конверте удвоенная сумма, а с какой - её половина, поэтому и не можем этим пользоваться. А если использовать такие недостоверные представления о вероятностях, то можно что угодно доказать! И потом можно будет смело называть это парадоксом своего имени. Кстати, заметьте, что в статье постоянно ссылаются именно на британского учёного, как бы намекая, что уши развешивать не надо. Дополнение: заметка вызвала множество вопросов в комментариях, поэтому я решил дополнить её ссылкой на статью в википедии (пока рекомендую только английскую версию, поскольку в русском варианте соответствующей статьи тоже нагнетается атмосфера загадочности). Предлагаю изучить предложенные в википедии объяснения ловушки - там предлагается посмотреть на неё с разных сторон. Надеюсь, альтернативные взгляды на проблему помогут разрешить внутренние противоречия между интуицией и научным знанием. Дополнение2: В русскоязычном разделе википедии тоже появился качественный материал на эту тему, поэтому рекомендую его всем, желающим разобраться в проблеме. Что в этом всём важно? А то, что очень мало людей имеют квалификацию, чтобы замечать такие логические ловушки. В данный момент вовсю идёт интеграция элементов теории вероятностей в школьные курсы, но где взять учителей, понимающих вероятностные тонкости на достаточном уровне? Мы говорили про это недавно, но перед самым началом учебного года есть желание повториться. Многие ли учителя, увидев обсуждаемую статью, содержащую откровенный бред, не принесут её в школу? У них же есть правильное и естественное желание - поделиться самым лучшим с талантливыми школьниками (чтобы интерес к предмету поддержать). А результат этого известен заранее - запутанные мозги, неправильные представления о красивой и стройной науке, ощущение, что «это всё шаманство какое-то» («это нельзя понять, поэтому просто запоминайте, дети!»). Если школьник заподозрит, что в предложенной статье что-то не то, то учитель не сможет ему объяснить, в чём проблема, потому что сам этого не понимает. Учить серьёзной науке - это вовсе не пересказывать главы учебника своими словами. В теории вероятностей очень сложные и очень простые задачи могут формулироваться одинаково маленьким количеством слов. И надо иметь серьёзную квалификацию, чтобы молниеносно различать эти случаи. Желание учить основам теории вероятностей в школе понятно - статистика всюду вокруг нас, поэтому надо её понимать. Но очень не хочется получить усиление каши в головах из-за такого нововведения. Пока нету массовой культуры решения задач по комбинаторике (а её, увы, нету даже среди учителей, в чём легко убедиться, присутствуя при проверке олимпиад уровня города и ниже), наивно надеяться, что эти же преподаватели смогут освоить теорию вероятностей (а это необходимо, чтобы потом учить детей). Нет, эти преподаватели вовсе не плохие, они могут квалифицированно разобраться со многими типами задачек. Но если их самих никогда толком этому не учили, то и они не смогут справиться с простым олимпиадным вопросом. Первый шаг - массовое обучение учителей. Потом эти преподаватели будут передавать свои знания школьникам. И только потом можно включать вопросы теории вероятностей в ЕГЭ (второй раз уже рекомендую более подробные размышления fdo об этой теме). Если я правильно понимаю, то сейчас план противоположный - расширить список тем ЕГЭ, а ученики и учителя пусть выкручиваются, как умеют. Будем надеяться, всё пройдёт лучше.

http://my-tribune.blogspot.ru/2009/08/blog-post_27.html