1. Содержание, роль теории уравнений и неравенств в курсе математики.

1. Содержание, роль теории уравнений и неравенств в курсе математики.

Уравнение как общематематическое понятие многоаспектно. Это можно проиллюстрировать, выделив главные области возникновения и функционирования понятия «уравнения» как:

• средства решения текстовых задач;

• особого рода формулы, служащей в алгебре объектов изучения;

• формулы, которой косвенно определяются числа или координаты точек плоскости (пространства), служащие его решением.

Названным областям соответствуют три основных направления расширения теории уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

1. Прикладная направленность. Являясь математической моделью реальных ситуаций, уравнение возникает как обобщение метода решения сюжетных задач арифметическим методом, а затем используется при решении текстовых задач, содержание которых содержит многообразные реальные процессы окружающего мира и тесно связана с изучением многих предметов (химия, биология, физика, экономика и др.). Данные аспекты теории во многом обеспечивает мотивацию изучения школьного курса математики в целом. При решении текстовых задач ведущей целью является математическое моделирование, а одним из средством построения модели и решении ситуации в её рамках – уравнение, неравенства и их системы.

2. Теоретико-математическая направленность рассматривается в двух аспектах:

• выделение и изучение наиболее важных классов уравнений, неравенств и их систем;

• изучение обобщенных понятий, относящихся ко всей теории в целом, что позволяет выделить обобщенные методы теории.

1. Направленность на установление связей с остальным курсом математики. Теория уравнений и неравенств тесно связана с числовой теорией, причем эта связь – двусторонняя. История свидетельствует, что в ряде случаев необходимость расширения числовых множеств была связана с разрешением уравнения. С другой стороны, расширение числового множества позволяет составить и решать новые типы уравнений, неравенств и их систем.

Теория уравнений, неравенств и их систем также связана с функциональной теорией. Методы, разработанные в теории уравнений и неравенств, применимы к исследованию функций (элементарные методы исследования функции с целью построения графика).

Также следует отметить особую связь рассматриваемой теории с теорией тождественных преобразований. Последняя теория приобретает новое содержание и смысл при изучении равносильных преобразований уравнений и неравенств. В свою очередь, владение содержанием теории уравнений и неравенств позволяет расширить список выполняемых преобразований. Так, умение решать квадратные равнения позволяет осуществлять сокращение дробей, в числителе или знаменателе которых имеется квадратный трехчлен.