10 класс. Презентация.

Поверхность, составленная из четырех треугольников …

называется тетраэдром

Грани Вершины Ребра

D

В

Зив Б.Г. «Дидактические материалы по геометрии для 10 класса»

А

С

Тетраэдр. Слово составлено из греческих

«четыре» и - «основание».

Буквальное значение – «четырехгранник».

По-видимому, термин впервые

употреблен Евклидом.

После Платона чаще

встречается «пирамида»

,

/

S

S

В

А

С

основание

Противоположные ребра

D

D

В

В

основание

Зив Б.Г. «Дидактические материалы по геометрии для 10 класса»

А

А

С

С

3

Тетраэдр – поверхность, составленная из четырех треугольников.

S

S

В

А

С

Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, будем называть многогранной поверхностью или многогранником .

4

Параллелепипед – поверхность, составленная из шести параллелограммов.

Параллелепипед АВС DA 1 B 1 C 1 D 1 – поверхность, составленная из двух равных параллелограммов АВС D и A 1 B 1 C 1 D 1 и четырех параллелограммов АВВ 1 А 1 , ADD 1 A 1 ,

CDD 1 C 1 и ВСС 1 В 1

A 1

D 1

B 1

С 1

D

А

В

С

Параллелепипед АВС DA 1 B 1 C 1 D 1

Грани Вершины Ребра

Противоположные грани

A 1

D 1

B 1

С 1

D

А

С

В

Параллелепипед. Слово составлено из греческих

«плоскость»

«поверхность».

Слово встречалось у Эвклида

и Герона, но его еще

не было у Архимеда.

,

,

Диагональ параллелепипеда - отрезок, соединяющий противоположные вершины.

D 1

С 1

B 1

А 1

D

С

А

В

Прямоугольный параллелепипед

Многогранник называется выпуклым , если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани.

Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11.

11

многогранники

Однородные

выпуклые

Однородные невыпуклые

Невыпуклые

призмы и

антипризмы

Тела

Архимеда

Тела

Платона

Тела

Кеплера-

Пуансо

Невыпуклые

полуправильные

однородные

многогранники

Выпуклые

призмы и

антипризмы

Правильные многогранники

Правильными многогранниками называют выпуклые многогранники, все грани и углы которых равны, причём грани – правильные многоугольники одного типа

Гексаэдр

Икосаэдр

Тетраэдр

Додекаэдр

Октаэдр

Архимедовы тела

Архимедовыми телами называют выпуклые многогранники, все многогранные углы которых равны, а грани – правильные многоугольники нескольких типов

Архимедовы тела

Выпуклые призмы и антипризмы

Тела Кеплера-Пуансо

Невыпуклые полуправильные однородные многогранники

Невыпуклые призмы и антипризмы

Невыпуклый многогранник

Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон, 6 класс (часть 3 ). № 7 42 ( а)

20

Октаэдр составлен из восьми треугольников.

Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются

гранями.

Стороны граней называются ребрами , а концы ребер – вершинами .

Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.

Многогранник, составленный из двух равных многоугольников А 1 А 2 …А n и В 1 В 2 …В n , расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов, называется призмой.

n -угольная призма.

Многоугольники

А 1 А 2 …А n и В 1 В 2 …В n – основания призмы .

Параллелограммы А 1 В 1 В 2 В 2 , А 2 В 2 В 3 А 3 и т.д. боковые грани призмы

Призма

B n

B 1

B 3

B 2

А n

А 1

А 3

А 2

Отрезки А 1 В 1 , А 2 В 2 и т.д. -

боковые ребра призмы

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы .

Призма

B n

B 1

B 3

B 2

А n

А 1

А 3

А 2

Если боковые ребра перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой , в противном случае наклонной .

Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

Прямая призма называется правильной , если ее основания - правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани – равные прямоугольники.

Изображение призмы с данным многоугольником в основании:

• провести из вершин многоугольника параллельные прямые

• отложить на них равные отрезки

• соединить их концы в той же последовательности, как и на заданном основании

Леонард Эйлер

(1701-1783)

Немецкий

математик и

физик

Формула Эйлера

( для правильных многогранников)

Г+В-Р=2

Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех граней, а площадью боковой поверхности призмы – сумма площадей ее боковых граней.

h

h

P oc н

5 см

В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12 см и 5 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45 0 . Найдите боковое ребро параллелепипеда.

№ 219.

D 1

С 1

А 1

В 1

?

D

С

45 0

А

12 см

В

24

10

Основанием прямого параллелепипеда является ромб с диагоналями 10 см и 24 см, а высота параллелепипеда 10 см. Найдите большую диагональ параллелепипеда.

№ 220.

С 1

D 1

А 1

В 1

10 см

?

D

С

А

В

Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см, боковое ребро равно 6 см. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону верхнего основания и противолежащую вершину нижнего основания.

№ 22 1 .

С 1

8

А 1

8

8

8

В 1

6

10

С

А

В

Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями 25 см и 9 см и высотой 8 см. Найдите двугранные углы при боковых ребрах призмы.

№ 22 2 .

D 1

С 1

А 1

В 1

9

9

С

D

8

А

8

8

25

В

H

F

1. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см, а диагональ боковой грани равна 10 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

2. Основание прямой призмы – параллелограмм со сторонами 8 и 15 см и углом 120 о . Боковая поверхность призмы имеет площадь 460 см 2 . Найдите площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания.

3. Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с катетами 13 и 12 см. Меньшая боковая грань и основание призмы равновелики . Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

Высота правильной четырехугольной призмы равна , а сторона основания – 8 см. Найдите расстояние между вершиной А и точкой пересечения диагоналей грани DD 1 С 1 С.

D 1

А 1

С 1

В 1

О

Тесты. Геометрия 11 класс. Варианты и ответы централизованного (итогового) тестирования – М.: Центр тестирования МО РФ, 2004.

D

А

8

В

С

8

32

Через два противолежащих ребра проведено

сечение, площадь которого равна см 2 . Найдите ребро куба и его диагональ.

№ 223.

64

64

D 1

С 1

В 1

А 1

a

S=

D

С

a

a

А

В

Докажите, что площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.

№ 236.

S 1 =A 1 A 2 * l

A 4

S 2 =A 2 A 3 * l

+

A 1

S 3 =A 3 A 4 * l

A 3

A 2

S 4 =A 4 A 1 * l

Боковое ребро наклонной четырехугольной призмы равно 12 см, а перпендикулярным сечением является ромб со стороной 5 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

№ 23 7 .

D 1

С 1

А 1

5

12

D

С

А

В

a 2

№ 225.

Диагональ правильной четырехугольной призмы образует с плоскостью боковой грани угол в 30 0 . Найдите угол между диагональю и плоскостью основания.

a

D 1

С 1

А 1

В 1

2 a

D

30 0

С

a

?

a

А

В

В правильной четырехугольной призме через диагональ основания проведено сечение параллельно диагонали призмы. Найдите площадь сечения, если сторона основания призмы равна 2 см, а ее высота 4 см.

№ 226.

D 1

С 1

А 1

В 1

N

4

С

D

2

O

А

2

В

Основанием наклонной призмы АВСА 1 В 1 С 1 является равнобедренный треугольник АВС, в котором АС=АВ=13см, ВС=10см,а боковое ребро призмы образует с плоскостью основания угол в 45 0 . Проекцией вершины А 1 является точка пересечения медиан треугольника АВС. Найдите площадь грани СС 1 В 1 В.

№ 228.

А 1

C 1

B 1

45 0

13

А

C

13

10

B

Основание прямой призмы – треугольник со сторонами 5 см и 3 см и углом в 120 0 между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см 2 . Найдите площадь боковой поверхности призмы.

№ 230.

S= 35 см 2

С 1

А 1

В 1

С

А

3

120 0

5

В

№ 231.

Стороны основания прямого параллелепипеда равны 8 см и 15 см и образуют угол в 60 0 . Меньшая из площадей диагональных сечений равна 130 см 2 . Найдите площадь поверхности параллелепипеда.

D 1

С 1

А 1

С

D

В 1

8

S= 130см 2

60 0

А

В

15

D

С

8

60 0

А

15

В

24

В наклонной треугольной призме две боковые грани взаимно перпендикулярны, а их общее ребро, отстоящее от двух других боковых ребер на 12 см и 35 см, равно 24 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

№ 23 8 .

А 1

C 1

B 1

35

К

12

О

А

C

B

№ 2 32 .

Диагональ прямоугольного параллелепипеда, равная d , образует с плоскостью основания угол , а с одной из боковых граней – угол . Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

D 1

С 1

А 1

В 1

d

D

С

В

А

Основание прямой призмы АВСА 1 В 1 С 1 является прямоугольный треугольник АВС с прямым углом В. Через ребро ВВ 1 проведено сечение ВВ 1 D 1 D , перпендикулярное к

плоскости грани АА 1 С 1 С.

Найдите площадь сечения,

если АА 1 =10см, А D =27см,

DC = 12см.

№ 2 3 3.

В 1

А 1

С 1

D 1

Из АВС

10

S сеч = 10 * 18

В

D

27

12

С

А

2 0

21

21

2 0

Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник. Через середину гипотенузы перпендикулярно к ней проведена плоскость. Найдите S сеч ,

если катеты равны 20см и 21см,

а боковое ребро равно 42 см.

№ 2 3 4.

В 1

N 1

А 1

С 1

D 1

В

42

N

В

?

N

А

С

D

D

С

А

С 1

2

А 1

В 1

С

А

D

В

D 1

С 1

В 1

А 1

1

D

С

К

1

А

1

В