10 класс. Усеченная пирамида.

КОУ ВО «ЦЛПДО»

Разработка урока-консультации в 10 классе.

«Усечённая пирамида».

Подготовила

Л.И. Гоптарь.

-Воронеж-

2020г.

Цель:

обеспечить прочное и сознательное овладение учащимися знаниями по данной теме «Усечённая пирамида» и сформировать навыки по их применению для решения задач.

Задачи урока:

Образовательные:

• учащиеся знакомятся с усеченной пирамидой, знакомятся с её элементами, выводят формулу боковой поверхности усеченной пирамиды;

• дать понятие усеченной пирамиды и её элементов;

• рассмотреть различные виды усеченных пирамид;

• доказать формулу нахождения площади поверхности усеченной пирамиды; научиться применять полученные знания при решении задач.

Развивающие:

• развивать логическое мышление; пространственное воображение учащихся, умение самостоятельно мыслить, делать выводы, поддержание интереса к математике, развитие познавательного интереса к предмету.

• развивать у учащихся навыки самостоятельной работы и работы в парах.

Воспитательные:

• воспитание познавательной активности, культуры общения, ответственности, самостоятельное развитие зрительной памяти;

• воспитывать у учащихся самостоятельность, любознательность, сознательное отношение к изучению математики;

• обоснование выбора методов, средств и форм обучения;

• оптимизировать обучение путем разумного сочетания и соотношения методов, средств и форм, направленных на получение высокого результата за время урока.

Тип урока: урок изучения нового материала и решение задач.

Ход урока.

II. Актуализация знаний (слайды 2 - 3).

1) Теоретический опрос.

• Дайте определение пирамиды.

• Назовите элементы пирамиды.

• Какая пирамида называется правильной?

• Как находится площадь боковой поверхности правильной пирамиды?

• Чему равна площадь полной поверхности пирамиды?

• Вспомним определение трапеции

• Какие виды трапеций вам известны?

• Как найти площадь трапеции?

2) Устное решение задач (слайды 4 - 5).

III. Объяснение нового материала.

1) Учитель показывает слайды 6 - 11 с изображением архитектурных сооружений в виде усечённой пирамиды.

Учащимся сообщается тема урока и цели, подчеркивается актуальность данной темы.

2) Объяснение материала проходит в форме беседы, учащиеся в тетрадях делают соответствующие записи.

Изобразите произвольную пирамиду РА₁А₂…А_n. Проведем секущую плоскость α, параллельную плоскости β основания пирамиды и пересекающую боковые ребра в точках В₁, В₂,…,В_n (слайд 12).

Плоскость параллельная основанию пирамиды, разбивает её на два многогранника. Один из них является пирамидой, а другой называется усечённой пирамидой.

Усеченная пирамида – это часть полной пирамиды, заключенная между её основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию данной пирамиды (слайд 13).

Определение. Усечённая пирамида – многогранник, гранями которого являются два n – угольника А₁А₂ … А_n и В₁В₂ … Вn , расположенные в параллельных плоскостях, и n – четырёхугольников А₁В₁В₂А₂, А₂В₂В₃А₃, … ,А_n В_n В₁А_1.

Многоугольники А₁А₂А₃ … А_n и В₁В₂В₃ … В_n - нижнее и верхнее основания усечённой пирамиды (слайд 14).

Отрезки А₁В₁, А₂В₂, А₃В₃… - боковые ребра усечённой пирамиды

Четырёхугольники А₁В₁В₂А₂, А₂В₂В₃А₃ … - боковые грани усечённой пирамиды.

Отрезок РН – перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки верхнего основания к нижнему основанию – называется высотой усечённой пирамиды (слайд 15).

Рассмотрим виды усечённых пирамид (слайд 16).

3) Работа в парах.

Докажите, что боковые грани усечённой пирамиды являются трапециями.

Доказательство (слайд 17).

Рассмотрим четырехугольник А₁В₁В₂А₂.

1. α ║ β

(SА₂А₃) ∩ α = А₂А₃

(SА₂А₃) ∩ β = В₂В₃

Значит, А₂А₃ ║ В₂В₃

• 2. А₂S ∩ А₃S = S, значит А₂В₂ ║ А₃В₃

Т.о. А₁В₁В₂А₂ – трапеция по определению.

Аналогично доказывается и про остальные боковые грани.

4) Правильная усечённая пирамида.

Учитель показывает натуральные модели правильных пирамид и правильных усечённых пирамид. Как вы думаете, какая усечённая пирамида будет правильной? Что лежит в её основаниях?

Определение. Усеченная пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию.

Высота боковой грани называется апофемой (слайд 18).

Давайте посмотрим на модели правильных усечённых пирамид, что вы можете сказать об их основаниях? А о боковых гранях? Сравните их.

Таким образом, правильная призма обладает следующими свойствами. Основания - правильные многоугольники.

Боковые грани – равные равнобедренные трапеции (слайд 19).

Как вы думаете, что называют площадью полной поверхности усечённой пирамиды?

Площадью полной поверхности усечённой пирамиды называется сумма площадей всех её граней: оснований и всех боковых граней.

S_полн. = S_бок + S _{верхн. осн.} + S_{нижн. осн}

А что такое площадь боковой поверхности усечённой пирамиды?

Площадью боковой поверхности усечённой пирамиды называется сумма площадей её боковых граней.

Вспомним, как найти площадь боковой поверхности правильной пирамиды?

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

А как найти площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды? (слайд 19).

Посмотрим на правильную усечённую пирамиду, изображённую на слайде 21.

И поставим перед собой задачу: найти площадь её боковой поверхности.

Один ученик работает на доске.

Какими фигурами являются боковые грани правильной n-угольной усечённой пирамиды? (Равнобедренными трапециями)

Н айдем площадь одной из граней правильной n-угольной усечённой пирамиды.

Сколько таких граней? (n)

Т .к. эта усечённая пирамида правильная, то

Итак, мы доказали, что

Теорема.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

IV. Физкультминутка.

Учитель предлагает простые упражнения для шеи, рук и спины.

V. Закрепление изученного материала.

1) Первичное закрепление.

1 уч-ся с комментированием решает № 268 в тетрадях.

Дано: MABCD - правильная пирамида, А₁В₁С₁|| АВС, МО₁: O₁O =1: 3, NK - апофема, NK = 4 дм, S_yc.пиp. = 186 дм²

Найти: ОО₁ - ?

Решение.

Рассмотрим ΔМКО. Так как NO1 || KO, то МО₁ : МО = O₁N : OK, значит, стороны В₁С₁ : ВС = МО₁ : МО. В₁С₁ = 1 : 3.

Пусть В₁С₁ = х, ВС = 3х. Имеем 

(не удовлетворяет условию задачи);

В₁С₁ = 3 (см), NО = 1,5 (см); ВС = 9 (см), ОК = 4,5 (см); KF = OK – NO₁ = 3. Из ΔKNF по теореме Пифагора 

Ответ:  дм.

2) Самостоятельное решение задач (дифференцированный подход).

Учащимся предлагаются на выбор разноуровневые задания.

1 уровень. Выполняют самостоятельную работу по вариантам. Учитель при необходимости консультирует учащихся, анализирует результаты выполнения учащимися заданий.

Вариант 1

В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны 22см и 6см, а высота-13см. Вычислите площадь полной поверхности пирамиды.

Вариант 2

В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны 24см и 8см, а высота-15см. Вычислите площадь полной поверхности пирамиды.

2 уровень. Работают самостоятельно в микрогруппах (по необходимости пользуются помощью учителя).

Задача.

В пирамиде сечение, параллельное основанию, делит высоту в отношении 3 : 4 (от вершины к основанию), а площадь сечения меньше площади основания на 200 см². Найдите площадь основания.

VI. Подведение итогов урока, рефлексия деятельности.

Давайте подведем итог.

- Итак, что вы узнали сегодня на уроке?

- Чему научились сегодня на уроке?

- Что такое усеченная пирамида?
- Какая усеченная пирамида называется правильной?

Учитель оценивает учащихся, задает дополнительное задание:

1) п. 30, № 269, 270;

2) дополнительная задача (слайд 19).