Россия, Москва
СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до 18.06.2025
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
Была в сети 04.06.2025 11:34
Морозова Яна Ивановна
Учитель математики
36 лет
16 690
1 991 
Местоположение
Специализация
Презентация по теме: "Усеченная пирамида"
Категория:
Математика
18.04.2023 13:42
Просмотр содержимого документа
«Презентация по теме: "Усеченная пирамида"»
«Усеченная пирамида ».
Определения.
Многогранник, составленный из n-угольника А 1 А 2 A 3 …А n и n треугольников с общей вершиной, называется пирамидой .
P
А n
A 1
A 3
A 2
Пирамиду с основанием А 1 А 2 …А n и вершиной Р обозначают : РА 1 А 2 …А n и называют n-угольной пирамидой .
Многоугольник А 1 А 2 А 3 …А n называется основанием , а треугольники- боковыми гранями пирамиды .
Точка Р называется вершиной пирамиды, а отрезки РА 1 ,РА 2 ,…,РА n – ее боковыми ребрами .
Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды .
Р
М
Е
Н
А
С
В
РН - высота
РН- высота
(не лежит во внутренней области пирамиды).
Пирамида называется правильной , если ее основание - правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром ее основания, является высотой данной пирамиды.
S
- SАВСD – правильная пирамида.
- АВСD – квадрат (правильный четырехугольник).
- SО – высота.
С
D
О
А
В
Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой .
S
SH- апофема
С
А
Н
В
Возьмем произвольную пирамиду PA 1 A 2 …A n и проведем секущую плоскость β||α основания пирамиды и пересекающую боковые ребра в точках B 1 ,B 2 ,…,B n . Плоскость β разбивает пирамиду на 2 многогранника. Многогранник, гранями которого являются n–угольники A 1 A 2 …A n и B 1 B 2 …B n (нижнее и верхнее основания), расположенные в параллельных плоскостях, и n четырехугольников A 1 A 2 B 2 B 1 , A 2 A 3 B 3 B 2 , …, A n A 1 B 1 B n (боковые грани), называется усеченной пирамидой .
Еще одно определение усеченной пирамиды .
Тело, получающееся из пирамиды, если отсечь ее вершину плоскостью, параллельной основанию, называется усеченной пирамидой .
D 1
С 1
А 1
В 1
D
С
А
В
Усеченную пирамиду с основаниями А 1 А 2 …А n и В 1 В 2 …В n обозначают так: А 1 А 2 …А n В 1 В 2 …В n .
Четырехугольники A 1 A 2 B 2 B 1 , A 2 A 3 B 3 B 2 , …, A n A 1 B 1 B n – боковые грани , n –угольники А 1 А 2 …А n и В 1 В 2 …В n – основания усеченной пирамиды.
Отрезки А 1 В 1 , А 2 В 2 , А 3 В 3 ,…, А n В n – боковые ребра усеченной пирамиды.
Теорема ( свойство усеченной пирамиды):
«Боковые грани усеченной
пирамиды – трапеции».
Дано: АВСА 1 В 1 С 1 – усеченная пирамида, полученная сечением пирамиды SАВС плоскостью (А 1 В 1 С 1 ) || (АВС).
Доказать: четырехугольники АА 1 С 1 С, АА 1 В 1 В и ВВ 1 С 1 С – трапеции.
S
B 1
А 1
B
С 1
А
С
S
- (АSС) (АВС) = АС
(АSС) (А 1 В 1 С 1 ) = А 1 С 1
(А 1 В 1 С 1 ) || (АВС)
◦
=
B 1
А 1
B
= АС || А 1 С 1 (по свойству параллельных
плоскостей)
С 1
А
2) АС || А 1 С 1 (доказали)
АА 1 СС 1 = S
= четырехугольник АА 1 С 1 С – трапеция (по определению)
С
3) (АSВ) (АВС) = АВ
(АSВ) (А 1 В 1 С 1 ) = А 1 В 1
(А 1 В 1 С 1 ) || (АВС)
= АВ || А 1 В 1 (по свойству параллельных плоскостей)
4) АВ || А 1 В 1 (доказали)
АА 1 ВВ 1 = S
= четырехугольник АА 1 В 1 В – трапеция (по определению)
S
B 1
А 1
5) (ВSС) (АВС) = ВС
(ВSС) (А 1 В 1 С 1 ) = В 1 С 1
(А 1 В 1 С 1 ) || (АВС)
B
=
С 1
А
= ВС || В 1 С 1 (по свойству параллельных плоскостей)
С
6) ВС || В 1 С 1 (доказали)
ВВ 1 СС 1 = S
= четырехугольник ВВ 1 С 1 С – трапеция (по определению)
●
Определения .
Площадью боковой поверхности усеченной пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней.
D 1
С 1
А 1
В 1
С
D
А
В
S бок. = S АА 1 В 1 В + S ВВ 1 С 1 С + S СС 1 D 1 D + S АА 1 D 1 D
Р
Усеченная пирамида называется правильной , если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной плоскости основания.
Основания правильной усеченной пирамиды – правильные многоугольники, а боковые грани – равнобедренные трапеции.
Н
М
К
С
А
В
- (МНК) || ;
- АСНМ,АМКВ,ВСНК – равнобедренные трапеции, т.е. АМ=КВ=НС
Высоты боковых граней правильной усеченной пирамиды называются апофемами .
- АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 – правильная усеченная пирамида;
- АВСD и А 1 В 1 С 1 D 1 – квадраты;
- А 1 Н, В 1 М, D 1 К – апофемы.
D 1
С 1
А 1
В 1
К
С
D
М
А
В
Н
Теорема :
«Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды
равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему».
S бок. пр. пир. = ½ ∙(Р осн 1 +Р осн 2 ) ∙d
D 1
C 1
●
◦
Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – правильная усеченная пирамида; А 1 К, В 1 М, D 1 N, A 1 H – апофемы, т.е. А 1 К АВ, В 1 М ВС, D 1 N DC, A 1 H AD Доказать: S бок = ½ ∙d∙(Р ABCD +P A 1 B 1 C 1 D 1 )
A 1
B 1
D
C
N
H
M
K
A
B
S бок = S ABB 1 A 1 + S BCC 1 B 1 + S CDD 1 C 1 + S ADD 1 A 1 =
= ½ ∙A 1 K∙(AB+A 1 B 1 ) + ½ ∙B 1 M∙(BC+B 1 C 1 ) + ½ ∙D 1 N∙(CD+C 1 D 1 ) +
+ ½ ∙A 1 H∙(AD+A 1 D 1 )
=
Но (по свойству ) A 1 K=B 1 M=D 1 N=A 1 H=d
= Sбок = ½· d∙(AB+A 1 B 1 +BC+B 1 C 1 +CD+C 1 D 1 +AD+A 1 D 1 )=
= ½ ∙d∙((AB+BC+CD+AD)+(A 1 B 1 +B 1 C 1 +C 1 D 1 +A 1 D 1 ))=
= ½ ∙d∙(P ABCD +P A 1 B 1 C 1 D 1 )
Вебинар для учителей
Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!
Полезное для учителя
Реализация образовательных программ осуществляется с применением исключительно электронного обучения и ДОТ
