11. Линейная функция. Квадратичная функция. Основные свойства. Распознавание функций.

Если  k=0 , то  функция   превращается в функцию     и ее график имеет вид:

Ординаты всех точек графика функции   равны 

Если b=0, то график функции   проходит через начало координат:

 Это график прямой пропорциональности.

3. Отдельно отмечу график уравнения  . График этого уравнения представляет собой прямую линию, параллельую оси   все точки которой имеют абсциссу  .

Например, график уравнения   выглядит так:

Внимание! Уравнение   не является функцией, так  как различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует определению функции.

4. Условие параллельности двух прямых:

График функции   параллелен графику функции  , если 

5. Условие перпендикулярности двух прямых:

График функции   перпендикулярен графику функции  , если   или 

6. Точки пересечения графика функции   с осями координат.

С осью ОY. Абсцисса любой точки, принадлежащей оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Получим y=b. То есть точка пересечения с осью OY имеет координаты (0;b).

С осью ОХ: Ордината любой точки, принадлежащей оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. Получим 0=kx+b. Отсюда  . То есть точка пересечения с осью OX имеет координаты ( ;0):

Рассмотрим решение задач.

1. Постройте график функции  , если известно, что он проходит через точку А(-3;2) и параллелен прямой y=-4x.

В уравнении функции    два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи должны быть два условия, характеризующих график функции.

а) Из того, что график функции   параллелен прямой y=-4x, следует, что k=-4. То есть уравнение функции имеет вид 

б) Нам осталось найти b. Известно, что график функции   проходит через точку А(-3;2). Если точка принадлежит графику функции, то при подстановке ее координат в уравнение функции, мы получим верное равенство:

  отсюда b=-10

Таким образом, нам надо построить график функции 

Точка А(-3;2) нам известна, возьмем точку B(0;-10)

Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим их прямой:

2. Написать уравнение прямой, проходящей через точки A(1;1); B(2;4).

Если прямая проходит через точки с заданными координатами, следовательно, координаты точек удовлетворяют уравнению прямой   . То есть если мы координаты точек подставим в уравнение прямой, то получим верное равенство.

Подставим координаты каждой точки в уравнение    и получим систему линейных уравнений.

Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим  . Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b=-2.

Итак, уравнение прямой  .

3. Постройте график уравнения 

Чтобы найти,  при каких значениях неизвестного произведение нескольких множителей равно нулю, нужно каждый множитель приравнять к нулю и учесть ОДЗ каждого множителя. 

Это уравнение не имеет ограничений на ОДЗ. Разложим на множители вторую скобку и приравняем каждый множитель к нулю. Получим совокупность уравнений:

Построим графики всех  уравнений совокупности в одной коорднатной плоскости. Это и есть график уравнения   :

4. Постройте график функции  , если он перпендикулярен прямой   и проходит через точку М(-1;2)

Мы не будем строить график, только найдем уравнение прямой.

а) Так как график функции  , если он перпендикулярен прямой  , следовательно  , отсюда  . То есть уравнение функции имеет вид 

б) Мы знаем, что  график функции   проходит через точку М(-1;2). Подставим ее координаты в уравнение функции. Получим:

, отсюда  .

Следовательно, наша функция имеет вид:  .

5. Постройте график функции 

Упростим выражение, стоящее в правой части уравнения функции.

Важно! Прежде чем упрощать выражение, найдем его ОДЗ.

Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому  ,  .

Тогда наша функция принимает вид:

То есть нам надо построить график функции   и выколоть на нем две точки: с абсциссами x=1 и x=-1:

В этой статье мы поговорим о том, что такое квадратичная функция, научимся строить ее график и определять вид графика в зависимости от знака дискриминанта и знака старшего коэффициента.
Итак.

Функция вида  , где   называется квадратичной функцией.

В уравнении квадратичной функции:

a - старший коэффициент

b - второй коэффициент

с  - свободный член.

Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола, которая для функции   имеет вид:

Обратите внимание на точки, обозначенные зелеными кружками - это, так называемые "базовые точки". Чтобы найти координаты этих точек для функции  , составим таблицу:

Внимание! Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент  , то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как график функции   при любых значениях остальных коэффициентов.

График  функции   имеет вид:

Для нахождения координат базовых точек составим таблицу:

 Обратите внимание, что график функции   симметричен графику функции  относительно оси ОХ.

Итак, мы заметили:

Если старший коэффициент a0, то ветви параболы напрaвлены вверх.

Если старший коэффициент a

Второй параметр для построения графика  функции - значения х, в которых функция равна нулю, или нули функции. На графике нули функции   - это точки пересечения графика функции   с осью ОХ.

Поскольку ордината (у) любой точки, лежащей на оси ОХ равна нулю, чтобы найти координаты  точек  пересечения графика функции   с осью ОХ, нужно решить уравнение  .

В случае квадратичной функции   нужно решить квадратное уравнение  .

Теперь внимание!

В процессе решения квадратного уравнения мы находим дискриминант:  , который определяет число корней квадратного уравнения.

И здесь возможны три случая:

1. Если  ,то уравнение   не имеет решений, и, следовательно, квадратичная парабола   не имеет точек пересечения с осью ОХ. Если  ,то график функции выглядит как-то так:

2. Если  ,то уравнение    имеет одно решение, и, следовательно, квадратичная парабола    имеет одну точку пересечения с осью ОХ. Если  ,то график функции выглядит примерно так:

3.  Если  ,то уравнение    имеет два решения, и, следовательно, квадратичная парабола    имеет две точки пересечения с осью ОХ:

,  

Если  ,то график функции выглядит примерно так:

Следовательно, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы уже можем в общих чертах определить, как выглядит график нашей функции.

Следующий важный параметр графика квадратичной функции - координаты вершины параболы:

Прямая, проходящая через вершину параболы параллельно оси OY является осью симметрии параболы.

И еще один параметр, полезный при построении графика функции - точка пересечения параболы   с осью OY.

Поскольку абсцисса любой точки, лежащей на оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы   с осью OY, нужно в уравнение параболы вместо х подставить ноль:  .

То есть точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c).

Итак, основные параметры графика квадратичной функции показаны  на рисунке:

Р ассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. В зависимости от того, каким образом задана квадратичная функция, можно выбрать наиболее удобный.

1. Функция задана формулой  .

Рассмотрим общий алгоритм построения графика квадратичной параболы на примере построения графика функции 

1. Направление ветвей параболы.

Так как  ,ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем дискриминант квадратного трехчлена 

Дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ.

Для того, чтобы найти их координаты, решим уравнение: 

,  

3.   Координаты  вершины параболы:

4. Точка пересечения параболы с осью OY: (0;-5),и ей симметричная относительно оси симметрии параболы.

Нанесем эти точки на координатную плоскость, и соединим их плавной кривой:

Этот способ можно несколько упростить.

1. Найдем координаты вершины параболы.

2. Найдем координаты точек, стоящих справа и слева от вершины.

Воспользуемся результатами построения графика функции

Координаты вершины параболы

Ближайшие к вершине точки, расположенные  слева от вершины имеют абсциссы соответственно -1;-2;-3

Ближайшие к вершине точки, расположенные справа имеют абсциссы  соответственно 0;1;2

Подставим значения х в уравнение функции, найдем ординаты этих точек и занесем их  в таблицу:

Нанесем эти точки на координатную плоскость и соединим плавной линией:

2.  Уравнение квадратичной функции имеет вид   - в этом уравнении   - координаты вершины параболы

или в уравнении квадратичной функции    , и второй коэффициент - четное число.

Построим для примера график функции  .

Вспомним линейные преобразования графиков функций. Чтобы построить график функции  , нужно

• сначала построить график функции  ,

• затем одинаты всех точек графика умножить на 2,

• затем сдвинуть его вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо,

• а затем вдоль оси OY на 4 единицы вверх:

Теперь рассмотрим построение  графика функции  . В уравнении этой функции  , и второй коэффициент - четное число.

Выделим в уравнении функции полный квадрат: 

Следовательно,  координаты вершины параболы:  . Старший коэффициент равен 1, поэтому построим по шаблону параболу с вершиной в точке (-2;1):

3.  Уравнение квадратичной функции имеет вид y=(x+a)(x+b)

Построим для примера график функции y=(x-2)(x+1)

1. Вид уравнения функции позволяет легко найти нули функции - точки пересечения графика функции с осью ОХ:

(х-2)(х+1)=0, отсюда 

2. Координаты вершины параболы: 

3. Точка пересечения с осью OY: с=ab=(-2)(1)=-2 и ей симметричная.

Нанесем эти точки на  координатную плоскость и построим график:

Функция y=k/x

Коэффициент k может принимать любые значения, кроме k=0. Рассмотрим сначала случай, когда k=1; таким образом, сначала речь пойдёт о функции y=1/x.

Чтобы построить график функции y=1/x, дадим независимой переменной x несколько конкретных значений и вычислим (по формулe y=1/x) соответствующие значения зависимой переменной y. Правда, на этот раз удобнее проводить вычисления и построения постепенно, сначала придавая аргументу только положительные значения, а затем — только отрицательные.

Первый этап. Если x=1, то y=1 (напомним, что мы пользуемся формулой y=1/x);

если  x=2, то y=1/2;

если x=4, то y=1/4;

если x=8, то y=1/8;

если x=1/2, то y=2;

если x=1/4, то y=4;

если x=1/8 , то y=8.

Короче говоря, мы составили следующую таблицу:

Построим найденные точки на координатной плоскости.

Второй этап.

если  x=−1, то y=−1;

если x=−2, то y=−1/2;

если x=−4, то y=−1/4;

если x=−8, то y=−1/8;

если x=−1/2, то y=−2;

если x=−1/4, то y=−4;

еслиx=−1/8, то y=−8.

 Составим следующую таблицу:

Построим найденные точки на координатной плоскости.

 А теперь объединим два этапа в один, т. е. из двух рисунков сделаем один.

Это и есть график функции y=1/x, его называют гиперболой.

Попробуем по чертежу описать геометрические свойства гиперболы.

Во-первых, замечаем, что эта линия выглядит так же красиво, как парабола, поскольку обладает симметрией. Любая прямая, проходящая через начало координат O и расположенная в первом и третьем координатных углах, пересекает гиперболу в двух точках, которые лежат на этой прямой по разные стороны от точки O, но на равных расстояниях от неё. Это присуще, в частности, точкам (1;1) и (−1;−1), (2;1/2) и (−2;−1/2) и т. д.

Значит, O — центр симметрии гиперболы. Говорят также, что гипербола симметрична относительно начала координат.

Во-вторых, видим, что гипербола состоит из двух симметричных относительно начала координат частей; их обычно называют ветвями гиперболы.

В-третьих, замечаем, что каждая ветвь гиперболы в одном направлении подходит всё ближе и ближе к оси абсцисс, а в другом направлении — к оси ординат. В подобных случаях соответствующие прямые называют асимптотами.

Значит, график функции y=1/x, т.е. гипербола, имеет две асимптоты: ось x и ось y.

Если внимательно проанализировать построенный график, то можно обнаружить ещё одно геометрическое свойство, не такое очевидное, как три предыдущих (математики обычно говорят так: «более тонкое свойство»).

Обрати внимание!

У гиперболы имеется не только центр симметрии, но и оси симметрии.

В самом деле, построим прямую y=x.

Теперь смотрите: точки (2;1/2) и (1/2;2) расположены по разные стороны от проведённой прямой, но на равных расстояниях от неё. Они симметричны, относительно этой прямой. Тоже можно сказать о точках (4;1/4) и (1/4;4),(8;1/8) и (1/8;8) и т.д.  Значит, прямая y=x — ось симметрии гиперболы y=1x ( равно как и y=−x).

Функция у = √х , ее свойства и график

Для построения графика функции   дадим, как обычно, независимой переменной х несколько конкретных значений (неотрицательных, поскольку при х  не имеет смысла) и вычислим соответствующие значения зависимой переменной у. Разумеется, мы будем давать х такие значения, для которых известно точное значение квадратного корня. Итак:

Итак, мы составили таблицу значений функции:

Построим найденные точки (0; 0), (1;1), (4; 2), (6,25; 2,5), (0;3) на координатной плоскости (рис. 78). Они располагаются некоторой линии, начертим ее (рис. 79). Получили график функции  . Обратите внимание: график касается оси у в точке (0; 0). Заметим, что, имея шаблон параболы у = х², можно без труда с его помощью построить график функции   , ведь это — ветвь той же параболы, только ориентированная не вверх, а вправо.

Свойства функции 
Описывая свойства этой функции, мы, как обычно, будем опираться на ее геометрическую модель — ветвь параболы (рис. 79).

1. Область определения функции — луч [0, +оо). 
2. у = 0 при х = 0; у 0 при х 0. 
3. Функция возрастает на луче [0, + оо). 
4. Функция ограничена снизу, но не ограничена сверху. 
5. у_наим. = 0 (достигается при х = 0), у_наи6 не существует. 
6. Функция непрерывна на луче [0, +оо).

Комментариев требует лишь свойство 4. Почему мы считаем, что функция не ограничена сверху? Возьмем, например, число 10. Найдется ли такое значение х, для которого будет выполнено неравенство    10? Конечно, достаточно взять х = 121, ведь   = 11, а 11 10. Возьмем число 40. Найдется ли такое значение х, для которого будет выполняться неравенство    40? Конечно, достаточно взять х = 2500, ведь   = 50, а 50 40. И вообще, какое бы положительное число т ни взять, всегда найдется такое х, что будет выполняться неравенство    m (достаточно взять х = (m + 1)²; подумайте, почему это так).

А теперь обратим внимание на одно любопытное обстоятельство. Рассмотрим две функции: у =   (ее график изображен на рис. 79) и у = х2, где х 0 (ее график изображен на рис. 80). Мы только что перечислили шесть свойств для первой функции, но абсолютно теми же свойствами обладает и вторая функция. Словесные «портреты» двух различных функций одинаковы. Математики не смогли вынести такой несправедливости, когда разные функции, имеющие разные графики, словесно описываются одинаково. Они обнаружили принципиальные различия в характере графиков, заметив, что график функции   обращен выпуклостью вверх, тогда как 
график функции у = х², где х 0, обращен выпуклостью вниз.

Обычно говорят, что функция выпукла вниз, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка (рис. 81); функция выпукла вверх, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка. Свойство выпуклости будем в дальнейшем включать в процедуру чтения графика.

Функция у = f (х)у где f (х) =  , принимает любые неотрицательные значения. В самом деле, какое бы конкретное значение у 0 ни задать, всегда найдется такое х, что выполняется равенство f (х) = у, т.е.   = у; для этого достаточно положить х = у². Множество всех значений функции называют обычно областью  значений функции. Для функции у =  областью значения значений является луч [0, + оо). Это, кстати, хорошо  читается по графику функции (рис. 79). Если спроецировать график на ось у, как раз и получится луч [0, + оо ).

Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции у =   на отрезке: 
а) [0, 4]; б) [1, 5].

Решение, а) Построим график функции у =   и выделим его часть на отрезке [0, 4] (рис. 83). Замечаем, что У_наим. = 0 (достигается при х = 0), а у_наи6 = 2 (достигается при х = 4).

б) Построим график функции у =   и выделим его часть на отрезке [1, 5] (рис. 84). Замечаем, что у_наим = 1 (достигается при х = 1), а у_наиб =   (достигается при х = 5). 
О т в е т: а) у_наим. = 0; у_наиб = 2; б) у_наим. = 1; ушиб = 


Пример 2. Решить уравнение   = 6 - х. 
Решение.

1) Рассмотрим две функции у = 6 - x и y =   
2) Построим график функции у =   (рис. 85). 
3) Построим график линейной функции у = 6 - х. 
Это — прямая, которую можно построить по двум точкам (0; 6) и (6; 0). Прямая изображена на том же чертеже (рис. 85). 
4) По чертежу устанавливаем, что графики пересекаются в одной точке А (4; 2). Так ли это на самом деле? Проверим: пара (4; 2) удовлетворяет и уравнению у =   и уравнению у = 6 - х. 
Это значит, что точка (4; 2) на самом деле служит точкой пересечения построенных графиков. Заданное уравнение имеет один корень 4 — это абсцисса точки А. 
Ответ: 4. 
Пример 3. Построить график функции 
Решение. 1) Перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке (1; -2) (пунктирные прямые х = 1 и у = - 2 на рис. 86). 

2) Привяжем функцию у =   к новой системе координат. 
Для этого выберем контрольные точки для функции у =  . , например (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3), но строить их будем не в старой, а в новой системе координат (эти точки отмечены на рис. 86). Построим ветвь параболы, проходящую через выбранные точки, — это и есть требуемый график (рис. 87).

Пример 4. Построить и прочитать график функции y = - 
Решение. Выше, в § 8, мы заметили, что график функции у = - f (х) получается из графика функции у = f (x) с помощью преобразования симметрии относительно оси х. 
Воспользовавшись этим, построим график функции у =   и отобразим его симметрично относительно оси х (рис. 88). Это и будет график функции у = -   .

Перечислим свойства функции у = -   (по графику): 
1. Область определения функции — луч [0, + оо). 
2. у = 0 при х = 0; у 0.
3. Функция убывает на луче [0, + оо). 
4. Функция ограничена сверху и не ограничена снизу. 
5 У_наиб. = 0 (достигается при х = 0), у_наим не существует. 
6. Функция непрерывна на луче [0, + од). 
7. Область значений функции — луч (- оо, 0]. 
8. Функция выпукла вниз.

Пример 5. Построить и прочитать график функции  y =f(x), где

Решение. Сначала построим график функции у =   и выделим его часть на отрезке [0, 4] (рис. 89). Затем построим гиперболу   и выделим ее часть на открытом луче (4, + оо) (рис. 90). Наконец, оба «кусочка» изобразим в одной системе координат — это и есть график функции у = f(x) (рис. 91). 
Перечислим свойства функции у — f(x), т.е. прочитаем график.

1. Область определения функции — луч [0, + оо). 
2. у = 0 при x = 0; у 0 при х 0. 
3. Функция возрастает на отрезке [0, 4] и убывает на луче [4, + оо). 
4. Функция ограничена и снизу и сверху. 
5. Функция непрерывна в заданной области определения. 
6. Область значений функции — отрезок [0, 2]. 
7. Функция выпукла вверх на отрезке [0, 4] и выпукла вниз на луче [4, + оо). 

Практические задания

1 .

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик квад­ра­тич­ной функ­ции y = f(x).

Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний о дан­ной функ­ции не­вер­ны? За­пи­ши­те их но­ме­ра.­

1) f(x) x 

2) Наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции равно 3

3) f(0)  f(4)

Если от­ве­тов не­сколь­ко, за­пи­ши­те их в по­ряд­ке воз­рас­та­ния

2. На рисунке изображены графики функций вида y = ax²​ + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

КОЭФФИЦИЕНТЫ

А) 

Б) 

В) 

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

3. Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) 

Б) 

B) 

ГРАФИКИ

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: 

4. Найдите зна­че­ние   по гра­фи­ку функции   изоб­ра­жен­но­му на рисунке.

5. На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций вида y = kx + b. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между зна­ка­ми ко­эф­фи­ци­ен­тов k и b и гра­фи­ка­ми функ­ций.

 Графики

Коэффициенты

Запишите в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в порядке, со­от­вет­ству­ю­щем буквам: 

6. Найдите зна­че­ние   по гра­фи­ку функции  , изоб­ра­жен­но­му на рисунке.

7. На ри­сун­ке изображён гра­фик функ­ции y = ax² + bx + c . Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между утвер­жде­ни­я­ми и промежутками, на ко­то­рых эти утвер­жде­ния выполняются. Впи­ши­те в приведённую в от­ве­те таб­ли­цу под каж­дой бук­вой со­от­вет­ству­ю­щую цифру.

Ответ:

8. На одном из ри­сун­ков изоб­ра­жен гра­фик функ­ции  . Ука­жи­те номер этого рисунка.

 9. На одном из ри­сун­ков изоб­ра­же­на парабола. Ука­жи­те номер этого рисунка.

10. На ри­сун­ке изображён гра­фик функ­ции y = ax² + bx + c. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между утвер­жде­ни­я­ми и промежутками, на ко­то­рых эти утвер­жде­ния выполняются.

11. Установите со­от­вет­ствие между функ­ци­я­ми и их графиками.

ФУНКЦИИ

 А)

Б)

В)

ГРАФИКИ

Запишите в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в порядке, со­от­вет­ству­ю­щем буквам: 

12. На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций вида y = ax² + bx + c. Для каж­до­го гра­фи­ка ука­жи­те со­от­вет­ству­ю­щее ему зна­че­ния ко­эф­фи­ци­ен­та a и дис­кри­ми­нан­та D.

Графики

Знаки чисел

Запишите в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в порядке, со­от­вет­ству­ю­щем буквам: 

13. На одном из ри­сун­ков изоб­ра­же­на гипербола. Ука­жи­те номер этого рисунка.

14. На ри­сун­ке изображён гра­фик функ­ции   . Какие из утвер­жде­ний от­но­си­тель­но этой функ­ции неверны? Ука­жи­те их номера.

1) функ­ция воз­рас­та­ет на про­ме­жут­ке  

2) 

3) 

4) пря­мая     пе­ре­се­ка­ет гра­фик в точ­ках     и  

15. График какой из при­ве­ден­ных ниже функ­ций изоб­ра­жен на рисунке?

16. На одном из ри­сун­ков изоб­ра­жен гра­фик функ­ции  . Ука­жи­те номер этого рисунка.

17. На ри­сун­ке изображён гра­фик функ­ции вида  . Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между утвер­жде­ни­я­ми и промежутками, на ко­то­рых эти утвер­жде­ния выполняются. Впи­ши­те в приведённую в от­ве­те таб­ли­цу под каж­дой бук­вой со­от­вет­ству­ю­щую цифру.

Запишите в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в порядке, со­от­вет­ству­ю­щем буквам: 

18. Найдите зна­че­ние   по гра­фи­ку функции   изоб­ра­жен­но­му на рисунке.

19. Установите со­от­вет­ствие между функ­ци­я­ми и их графиками.

Функции

Графики

Запишите в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в порядке, со­от­вет­ству­ю­щем буквам: 

20.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик квад­ра­тич­ной функ­ции y = f(x).

Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний о дан­ной функ­ции не­вер­ны? За­пи­ши­те их но­ме­ра.

1) f(−1) = f(3).

2) Наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции равно 3.

3) f(x)0 при −1x

21. На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки вида   Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между гра­фи­ка­ми функ­ций и зна­ка­ми ко­эф­фи­ци­ен­тов k и b.

Графики

Коэффициенты

Ответ:

22. Найдите зна­че­ние   по гра­фи­ку функции  , изоб­ра­жен­но­му на рисунке.

23. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между функ­ци­я­ми и их гра­фи­ка­ми.

Функции

Графики

Запишите в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в порядке, со­от­вет­ству­ю­щем буквам: 

24. Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) 

Б) 

В) 

ГРАФИКИ

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: 

2 5.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик квад­ра­тич­ной функ­ции y=f(x).

Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний о дан­ной функ­ции не­вер­ны? За­пи­ши­те их но­ме­ра.

1) f( −2) = f(2)

2) f(x)0 при xx2

3) Наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции равно −9

26. Установите со­от­вет­ствие между функ­ци­я­ми и их графиками.

ФУНКЦИИ

А)

Б)

В)

 ГРАФИКИ

Запишите в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в порядке, со­от­вет­ству­ю­щем буквам: 

27. На ри­сун­ке изображён гра­фик функ­ции y = ax² + bx + c . Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между утвер­жде­ни­я­ми и промежутками, на ко­то­рых эти утвер­жде­ния выполняются.

28. Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) 

Б) 

В) 

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: 

29. Установите со­от­вет­ствие между гра­фи­ка­ми функ­ций и формулами, ко­то­рые их задают.

1) 

2) 

3) 

4) 

Запишите в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в порядке, со­от­вет­ству­ю­щем буквам: 

30. Найдите зна­че­ние   по гра­фи­ку функции  , изоб­ра­жен­но­му на рисунке.

31. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают:

ГРАФИКИ

ФОРМУЛЫ

32. Найдите зна­че­ние   по гра­фи­ку функции  , изоб­ра­жен­но­му на рисунке.

33. Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) 

Б) 

В ) 

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

34.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик квад­ра­тич­ной функ­ции y = f(x).

Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний о дан­ной функ­ции не­вер­ны? За­пи­ши­те их но­ме­ра.

1) Функ­ция воз­рас­та­ет на про­ме­жут­ке [2; +∞)

2) f(x)0 при −1x

3) f(0)f(4)

35. Установите со­от­вет­ствие между функ­ци­я­ми и их графиками.

А) 

Б) 

В) 

Ответ ука­жи­те в виде по­сле­до­ва­тель­но­сти цифр без про­бе­лов и за­пя­тых в ука­зан­ном по­ряд­ке

36. На ри­сун­ке изображён гра­фик функ­ции y = ax² + bx + c . Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между утвер­жде­ни­я­ми и промежутками, на ко­то­рых эти утвер­жде­ния выполняются.

37. Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) 

Б) 

В) 

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: 

38. Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) 

Б) 

В) 

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: 

39. Найдите зна­че­ние   по гра­фи­ку функ­ции   изоб­ра­жен­но­му на рисунке.

40. На рисунке изображены графики функций вида y = ax²​ + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

КОЭФФИЦИЕНТЫ

А) 

Б) 

В) 

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

 Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: 

41.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик квад­ра­тич­ной функ­ции y = f(x).

Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний о дан­ной функ­ции не­вер­ны? За­пи­ши­те их но­ме­ра.

1) Функ­ция воз­рас­та­ет на про­ме­жут­ке [1; +∞).

2) f(−2) = f(2).

3) Наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции равно –4.

42. Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) 

Б) 

B) 

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

43. Найдите зна­че­ние   по гра­фи­ку функ­ции   изоб­ра­жен­но­му на рисунке.

44. Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) 

Б) 

B) 

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

 Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: 

45. На ри­сун­ке изображён гра­фик функ­ции y = ax² + bx + c . Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между утвер­жде­ни­я­ми и промежутками, на ко­то­рых эти утвер­жде­ния выполняются.

46. На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций вида  . Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между зна­ка­ми ко­эф­фи­ци­ен­тов   и   и графиками.

КОЭФФИЦИЕНТЫ

А) 

Б) 

В) 

 ГРАФИКИ

Запишите в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в порядке, со­от­вет­ству­ю­щем буквам: 

47. На одном из ри­сун­ков изоб­ра­жен гра­фик функ­ции  . Ука­жи­те номер этого рисунка.

48.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик квад­ра­тич­ной функ­ции y=f(x).

Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний о дан­ной функ­ции не­вер­ны? За­пи­ши­те их но­ме­ра.

1) Функ­ция воз­рас­та­ет на про­ме­жут­ке [2; +∞)

2) f( −1 ) f( 5 )

3 ) Наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции равно −9

49. 

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций вида y = kx + b. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между гра­фи­ка­ми функ­ций и зна­ка­ми ко­эф­фи­ци­ен­тов k и b.

Графики

 Коэффициенты

Запишите в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в порядке, со­от­вет­ству­ю­щем буквам: 

5 0.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик квад­ра­тич­ной функ­ции y = f(x).

Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний о дан­ной функ­ции не­вер­ны? За­пи­ши­те их но­ме­ра.

1) f(x)x

2) Функ­ция воз­рас­та­ет на про­ме­жут­ке [2; +∞).

3) Наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции равно −5.