14. Подобие треугольников.

14. Подобие треугольников. Теорема Фалеса.

Подобные фигуры

До сих пор мы говорили о равенстве: фигуры равны, если при наложении они совмещаются, т. е. у них совпадают и форма, и размеры.

Иногда нас могут интересовать только размеры фигур без учета их формы. Для этого мы ввели такую характеристику, как площадь. Если у фигур площади равны (такие фигуры называются равновеликие), то они занимают одну и ту же (по размерам) часть плоскости, при этом форма фигур нас не интересует (см. рис. 1).

Рис. 1. Фигуры с равными площадями

Но чаще всего нас будет интересовать совпадение фигур по форме без учета размеров. Почему так? Монеткой в руке можно полностью закрыть Луну. И монета, и Луна имеют форму круга, но радиус монеты несколько сантиметров, а Луны – больше тысячи километров.

На видимые размеры объектов влияют не только их реальные размеры, но и расстояние до этих объектов. Если изобразить два объекта, то без указания масштаба нельзя будет понять, одинаковые ли у них размеры. А вот форма объекта от расстояния до него и введенного масштаба не зависит: форма Луны не изменится от того, приблизимся мы к ней или удалимся от нее.

У фигур с одинаковой формой много общих свойств, поэтому, изучив одну из них, мы получим результат для всех объектов такой формы.

Теперь нужно определиться, что такое «одинаковая форма». Если поле нужно разделить между пятью людьми, то никто не будет бегать по полю с линейками. Поле нарисуют на бумаге, разделят сначала его и только потом – настоящее поле. Очень часто большую фигуру-оригинал заменяют меньшей, но такой же формы. Поле, план квартиры, карта города, схема кинотеатра и т. д. – это примеры соответствия: если наша цель – выбор места, то схема зала эквивалентна самому залу.

В геометрии соответствие называется подобием. Значение этого слова нам известно: два объекты подобны, если они похожи. Но что такое похожесть с точки зрения геометрии?

Дети рисуют дом. На каком из рисунков получилось похоже (см. рис. 2)? На третьем.

Рис. 2. Рисунки домов

Мы уже говорили об этом, когда изучали пропорции: их размеры пропорциональны. Итак, для похожести требуется выполнение двух условий: одинаковая форма и пропорциональность размеров.

Поскольку мы выделяем различные по форме классы фигур (треугольники, четырехугольники, окружности и т. д.), то, очевидно, что можно говорить только о подобии внутри одного класса: подобные треугольники, подобные четырехугольники, подобные окружности и т. д.

Пропорциональность размеров говорит о том, что если один из подобных объектов увеличить (или уменьшить) в несколько раз, то он совпадет с другим. Тогда понятно, что все окружности подобны, т. к. они задаются всего одним параметром – радиусом. Действительно, возьмем любые две окружности с радиусами  . Совместим их центры (см. рис. 3). Если увеличить радиус первой окружности в   раз, то она совпадет со второй.

Рис. 3. Окружности радиусов   и   с общим центром

Поэтому монеткой можно закрыть Луну, Солнце и любой другой объект в форме круга (главное – подобрать правильное соотношение расстояний).

С треугольником все немного сложнее. Понятно, что эти два треугольника не подобны (см. рис. 4): как один из них ни увеличивай, он со вторым не совпадет.

Рис. 4. Неподобные треугольники

Как мы уже знаем, чтобы задать треугольник, нужно хотя бы 3 параметра. Поэтому нужно ввести точное определение подобных треугольников и изучить их свойства. Этим мы сейчас и займемся.

  Определение, которое мы сформулировали, является избыточным – чтобы треугольники были подобны, не нужно требовать и пропорциональности трех пар сторон, и равенства трех углов.

 Для того чтобы убедиться в том, что два треугольника являются подобными, существуют признаки подобия треугольников (по аналогии с признаками равенства). И в них не требуется проверять все утверждения, перечисленные в определении.

Чтобы разобраться в этом, рассмотрим очень древний и очень удобный геометрический инструмент – теорему Фалеса. Фалес Милетский, именем которого названа теорема, жил более 2,5 тысяч лет назад.

Рис. 8. Фалес Милетский

Теорема Фалеса достаточно наглядна и не вызывает особых сомнений даже без строгого доказательства: если параллельные прямые отсекают равные отрезки на одной стороне угла, то они отсекают равные отрезки и на другой стороне (см. рис. 9).

Рис. 9. Иллюстрация к теореме Фалеса

Более общая формулировка этой теоремы (ее еще называют обобщенной теоремой Фалеса или теоремой о пропорциональных отрезках): параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.

Т. е. если пересечь угол несколькими параллельными прямыми (в отличие от классической формулировки можно начертить прямые на разных расстояниях друг от друга), то отношение двух отрезков на одной стороне угла будет равно отношению соответствующих отрезков на второй стороне (см. рис. 10):

Рис. 10. Иллюстрация к теореме Фалеса

Свойства подобия.

\

Гомотетия относительно точки.