7 класс Треугольник Паскаля Работа на НОУ

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №50

города Володарска Нижегородской области

Проектная работа

по теме:

«Треугольник Паскаля»

Авторы проекта:

Колесникова Анастасия,

Конюшенко Александра,

ученицы 7б класса.

Руководитель проекта:

Богданова М.Д., учитель математики

МОУ СОШ №50 г. Володарска

г. Володарск, 2012г.

АКТУАЛЬНОСТЬ:

На уроках алгебры в разделе “Формулы сокращённого умножения” нами были доказаны формулы квадрата и куба двучлена a+b. Возведение данного двучлена в натуральную степень n больше 3, например в 10, требует внимания и времени.

Мы попытались найти более короткий способ для выполнения этого задания, нежели умножение многочлена на многочлен.

Решив первую проблему (получив треугольник Паскаля), выяснили, какими свойствами обладают биномиальные коэффициенты.

ГИПОТЕЗА:

Если существуют формулы сокращённого умножения, например, формулы квадрата и куба двучлена a+b, то должен существовать более короткий, нежели умножение многочлена на многочлен, способ возведения данного двучлена в натуральную степень n больше 3, например в 10.

ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ:

треугольник Паскаля

ПРЕДМЕТ ИССЛЕДОВАНИЯ

Короткий способ возведения двучлена a+b в натуральную степень n больше 3, например в 10.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ:

1. Сбор информации,

2. Изучение дополнительной литературы,

3. Обработка данных,

4. Наблюдение,

5. Сравнение,

6. Анализ,

7. Обобщение.

Цель проекта:

Дополнить уже известные способы возведения двучлена a+b в натуральную степень n, изучаемые в школе и, исследовав зависимость между биномиальными коэффициентами, самостоятельно получить арифметический треугольник.

Задачи исследования:

• Получение биномиальных коэффициентов.

• Получение треугольника Паскаля.

• Изучить историографию вопроса.

• Поиск и доказательство свойств треугольника Паскаля.

• Составление последовательности тренировочных задач по теме “Треугольник Паскаля”.

• Рассмотреть практическое применение треугольника Паскаля при решении задач.

НОВИЗНА

В ходе выполнения проекта мы пополнили свои знания о треугольнике Паскаля и нашли более короткий нежели умножение многочлена на многочлен способ возведения двучлена a+b в натуральную степень n больше 3.

Организация работы над проектом

по теме «Треугольник Паскаля»

СОДЕРЖАНИЕ

1. ВВЕДЕНИЕ.

стр.

Цели проекта. Знания, умения и способы

действий, необходимые в процессе работы над проектом. ………….. .5

1. Содержательная и методическая часть работы

над проектом.

Этап 1. Получение биномиальных коэффициентов. ……………………6 - 7

Этап 2. Получение треугольника Паскаля. ……………………………..8

Этап 3. Поиск исторического материала. ………………………………9

Этап 4. Поиск и доказательство свойств треугольника Паскаля. ….. . 10 -14

Этап 5. Составление последовательности тренировочных задач ……15- 16

по теме “Треугольник Паскаля”.

3. Методика работы над проектом. …………………………… 17

4. Заключение………………………………………………………...18

5. Список литературы. ………………………………………........ 18

ВВЕДЕНИЕ.

Цели и задачи проекта:

- исследовав зависимость между биномиальными коэффициентами, самостоятельно получить арифметический треугольник;

- научиться решать ряд практических задач, используя треугольник Паскаля;

- самостоятельно составить задачи, связанные с биномиальными коэффициентами;

- выявить ряд закономерностей треугольника Паскаля;

- доказать простейшие свойства;

- познакомиться с историческим материалом, связанным с биномиальными коэффициентами и треугольником Паскаля;

- проанализировать полученный результат;

- подготовить презентацию, содержащую полученные результаты и продемонстрировать её другим учащимся.

Знания, умения и способы действия,

которые были необходимы нам в процессе работы:

- уметь выполнять действия с многочленами;

- владеть навыками поиска и отбора информации;

- уметь находить числовые закономерности;

- владеть навыками самоконтроля;

- умение составлять задания по заданной теме;

- иметь навыки написания компьютерных презентаций.

2. Содержательная и методическая составляющие проекта.

Описание проблемы.

Наша проектная деятельность была направлена на решение двух основных проблем.

1) На уроках алгебры в разделе “Формулы сокращённого умножения” нами были доказаны формулы квадрата и куба двучлена a+b. Возведение данного двучлена в натуральную степень n больше 3, например в 10, требует внимания и времени. Необходимо найти более короткий способ для выполнения этого задания.

2) Решив первую проблему (получив треугольник Паскаля), выяснить, какими свойствами обладают биномиальные коэффициенты.

Ход работы над проектом.

Этап 1. Получение биномиальных коэффициентов.

Задача. Выполнить возведение двучлена a+b в нулевую степень, первую и натуральные степени n больше 3, найти коэффициенты полученных разложений (биномиальные).

(a+b) =1

(a+b) =a+b

Нам известны формулы квадрата суммы и квадрата разности, куба суммы и куба разности. Так как разность a – b можно рассматривать как сумму a+(-b), то в каждом случае можно говорить не о двух формулах, а об одной – квадрате двучлена и кубе двучлена.

(a+b) =a +2ab+b

(a+b) =a +3a b+3ab +b

Нетрудно получить формулы для возведения двучлена в четвёртую, пятую и т.д. степень. Получить их можно последовательно одну за другой, умножая многочлен, записанный в правой части предшествующей формулы, на a+b

a +3a b+3ab +b

a + b

a +3a b+3a b + ab

a b+3a b +3ab +b

a +4a b+6a b +4ab +b

Итак, (a+b) =a +4a b+6a b +4ab +b

Умножая правую часть этого равенства на a+b получим формулу пятой степени двучлена: a +4a b+6a b +4ab +b

a + b

a +4a b+6a b +4a b + ab

a b+4a b +6a b +4ab +b

a +5a b+10a b +10a b +5ab +b

Итак, (a+b) =a +5a b+10a b +10a b +5ab +b .

Для того, чтобы заметить закономерность в формуле n -й степени двучлена a+b

При различных значениях n, выпишем их, начиная с n = 0 и заканчивая n = 5

(a+b) =1

(a+b) =a+b

(a+b) =a +2ab+b

(a+b) =a +3a b+3ab +b

(a+b) =a +4a b+6a b +4ab +b

(a+b) =a +5a b+10a b +10a b +5ab +b .

      Для того чтобы получить треугольник Паскаля, перепишем натуральные степени бинома в виде таблицы:

№	Степень	Разложение в сумму одночленов
0
1
2
3
4
5
6
...	...	...

Мы самостоятельно определили количество необходимых разложений двучлена.

В случае, если при дальнейшей работе с треугольником данных окажется недостаточно, мы можем провести дополнительные возведения двучлена в степень.

Рассматривая эти формулы можно заметить, что в правой части каждой из них записан многочлен, содержащий n + 1 членов, где n – показатель степени двучлена.

Первый член многочлена равен х в степени n, т.е. равен произведению х в степени n и у в 0 степени. Далее при переходе к каждому последующему члену показатель степени х уменьшается на 1, а показатель степени у увеличивается на 1, т.е. сумма показателей степеней в каждом слагаемом равна n.

Этап 2. Получение треугольника Паскаля.

Чтобы выявить закономерность в образовании коэффициентов всех строк мы расположили биномиальные коэффициенты по строкам в определенном порядке, и       воспользовавшись третьим столбцом предыдущей таблицы, составили следующую таблицу «Треугольник Паскаля»:

n = 0 1

n = 1 1 1

n = 2 1 2 1

n = 3 1 3 3 1

n = 4 1 4 6 4 1

n = 5 1 5 10 10 5 1 и т. д.

    Далее мы попытались выяснить, какими свойствами обладают числа данной таблицы и провести доказательства ряда из них. В данном треугольнике «боковые стороны» состоят из единиц, а каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, записанных над ним

  В треугольнике Паскаля каждая строка соответствует строке с тем же номером в Таблице 1. Однако в каждой строке треугольника Паскаля, в отличие от Таблицы 1., записаны только коэффициенты разложения в сумму одночленов соответствующей степени бинома .

      Заполнив сначала строки треугольника Паскаля с номерами 0 и 1, рассмотрим строки  с номерами 2 и далее.

      Основным свойством треугольника Паскаля, позволяющим последовательно, начиная со строки с номером  2, заполнять его строки, является следующее свойство:

      Каждая из строк, начиная со строки с номером 2, во-первых, начинается и заканчивается числом 1, а, во-вторых, между числами 1 стоят числа, каждое из которых равно сумме двух чисел, стоящих над ним в предыдущей строке.

      Действительно, число 2, стоящее в строке с номером два, равно сумме чисел 1 плюс 1, стоящих в первой строке. Точно так же, числа 3 и 3, стоящие в строке с номером три, равны соответственно сумме чисел 1 плюс 2 и сумме чисел 2 плюс 1, стоящих во второй строке.

           Также и для других строк.

      Таким образом, свойство треугольника Паскаля позволяет, заполнив одну из строк, легко заполнить и следующую за ней, т.е. получить необходимые коэффициенты разложения в сумму одночленов следующей степени бинома .

Подсчитывая суммы элементов каждой строки при n = 0, n = 1, n = 2, n = 3 и т.д. , можно заметить, что сумма чисел n-ой строки, начиная с нулевой, равна соответственно 2 , 2 , 2 , 2 ,…, . Убедиться в этом можно, подставив в любую строку а = 1 и в = 1. Но доказать это свойство с данной таблицей, ”открывать” с её помощью новые свойства трудно.

Наш руководитель предложила нам найти информацию о том, кто из ученых занимался данной проблемой, и какие результаты были ими получены. Тогда в изученном материале, мы ”натолкнулись” на другие расположения коэффициентов, например, на расположение из трудов самого Паскаля.

Позже мы вернулись к поиску свойств треугольника Паскаля.

Этап 3. Поиск исторического материала.

Формула возведения двучлена a+b в натуральную степень n была известна древним грекам только для n=2.

Первое упоминание треугольной последовательности биномиальных коэффициентов под названием meru-prastaara встречается в комментарии индийского математика X века Халаюдхи к трудам другого математика, Пингалы.

Обобщение для любого натурального показателя сделали азиатские математики Омар Хайям (1048-1122) и аль-Каши (XV век), поэтому в Иране треугольник называют треугольником Омара Хайяма.

В 1303 году была выпущена книга «Яшмовое зеркало четырёх элементов» китайского математика Чжу Шицзе, в

которой был изображен треугольник Паскаля на одной Треугольник Яна Хуэя в китайском

из иллюстраций; считается, что изобрёл его другой средневековом манускрипте, 1303 год

китайский математик, Ян Хуэй (поэтому китайцы называют его треугольником Яна Хуэя).

На титульном листе учебника арифметики, написанном в 1529 году Петром Апианом, астрономом из Ингольтштадского университета, также изображён треугольник Паскаля.

В Европе треугольник впервые встречается в руководстве по арифметике Апиана в 1527 году, а в 1556 итальянский математик Н.Тарталья опубликовал арифметический треугольник, объявив его своим изобретением.

В Италии – это треугольник Тартальи, а в Китае– треугольник Хуэя.

В 1631 году изучением таблицы занимался Аутред, изобретатель логарифмической линейки.

Треугольник Паскаля назван по имени известного французского учёного Блеза Паскаля (1623-1662) – математика, физика, философа и литератора, описавшего такой треугольник в своём трактате. Работа Паскаля, содержащая подробное описание треугольника, под названием ”Трактат об арифметическом треугольнике”, была опубликована в 1665 году. Блез Паскаль – это знаменитый физик и математик, живший во Франции более трех веков назад.

Паскаль умер, когда ему было 39 лет, но, несмотря на столь короткую жизнь, он вошел в историю как выдающийся математик, физик, философ и писатель.

Работы Паскаля охватывают самые разные области. Он является одним из создателей математического анализа, проективной геометрии, теории вероятностей, гидростатики (широко известен закон Паскаля). Щедро одарённый от природы Блез Паскаль изобрёл первую счётную машину, является создателем механического счетного устройства - "паскалева колеса" - как говорили раньше и сделал многое в области математики, которая называется комбинаторикой.

Его именем благодарными потомками названы единица давления (паскаль) и получивший чрезвычайно широкое распространение язык программирования.

Формула бинома была обобщена И.Ньютоном для дробных и отрицательных показателей.

Этап 4. Поиск и доказательство свойств треугольника Паскаля.

Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В тоже время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике.

1	1	1	1	1	1	1	1
1	2	3	4	5	6	7	8
1	3	6	10	15	21	28
1	4	10	20	35	56
1	5	15	35	70
1	6	21	56
1	7	28
1	8

вертикальной оси. Свойства треугольника Паскаля позволяют, заполнив одну из строк, легко заполнить и следующую за ней, т.е. получить необходимые коэффициенты разложения в сумму одночленов следующей степени бинома .

Рассмотрим расположение биномиальных коэффициентов, которое встречается в работе Паскаля:

В работе Паскаля можно обнаружить следующие свойства:

1	1	1	1	1	1	1	1
1	2	3	4	5	6	7	8
1	3	6	10	15	21	28
1	4	10	20	35	56
1	5	15	35	70
1	6	21	56
1	7	28
1	8

1. Каждое число А таблицы равно сумме чисел предыдущего горизонтального ряда с первого до стоящего выше А.

1	1	1	1	1	1	1	1
1	2	3	4	5	6	7	8
1	3	6	10	15	21	28
1	4	10	20	35	56
1	5	15	35	70
1	6	21	56
1	7	28
1	8

35=1+3+6+10+15

2. Каждое число А таблицы равно сумме чисел предыдущего вертикального ряда с первого до стоящего левее А.

56=1+5+15+35

1. 1	1	1	1	1	1	1	1
   1	2	3	4	5	6	7	8
   1	3	6	10	15	21	28
   1	4	10	20	35	56
   1	5	15	35	70
   1	6	21	56
   1	7	28
   1	8

   Каждое число таблицы, будучи уменьшенным на 1, равно сумме всех чисел прямоугольника, ограниченного

вертикальным и горизонтальным рядами, на

которых стоит А.

15-1=1+1+1+1+1+2+3+4

Расположив числа традиционным способом,

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

мы получили следующие свойства:

1. Если очертить треугольник Паскаля, то получится равнобедренный треугольник. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Продолжать треугольник можно бесконечно.

2. Таблица симметрична относительно биссектрисы угла, т.е. числа треугольника симметричны (равны) относительно вертикальной оси.

Это свойство мы можем обосновать тем, что переменные a и b входят в выражение симметричным образом и, изменив порядок слагаемых, получим

равенство соответствующих коэффициентов.

3. Каждое число таблицы в строках, с номером больше второго, равно

сумме двух вышестоящих чисел.

Например, 1 + 2 + 1

1 3 3 1

Умножая разложение n-ой степени двучлена a+b на двучлен (a+b), получим, что коэффициент при буквенном множителе a b , где k+m=n+1, получается при сложении коэффициентов при a b и a b , то есть двух вышестоящих чисел.

4. Второе число каждой строки соответствует её номеру.

Например, 1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

Данное свойство является следствием свойства 3.

5. Третье число каждой строки равно сумме номеров строк ей предшествующих.

Например, 5 строка коэффициентов: 1 5 10 10 5 1;

третье число 10 = 1 + 2 + 3 + 4.

6. Сумма чисел n-ой строки треугольника равна .

Докажем это свойство, положив a=1 и b=1. С одной стороны получим сумму биномиальных коэффициентов, а с другой - .

7. Если n – простое число, то все числа этой строки, кроме 1, делятся на n.

1 7 21 35 35 21 7 1

Например, 7 – простое число, все числа 7 строки, кроме 1 делятся на 7.

8 . Третье число каждой строки является треугольным, то есть, имея соответствующее количество шаров равных диаметров, их можно выложить в виде треугольника (треугольными являются числа: 1; 3; 6; 10;15; 21; 28 и т.д.).

Треугольные числа в самом обычном и привычном нам виде показывают, сколько касающихся кружков можно расположить в виде треугольника - как классический пример начальная расстановка шаров в бильярде.

К одной монетке можно прислонить еще две - итого три - к двум можно приладить еще три - итого шесть. Продолжая наращивать ряды с сохранением формы треугольника получим ряд 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66..., что и показывает вторая зеленая линия.

Этот замечательный ряд, каждый член которого равен сумме натурального ряда чисел (55=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10), содержит также множество знакомцев, хорошо известных любителям математики:

6 и 28 - совершенные числа,

36 - квадратное число,

21 – число Фибоначчи.

9. Каждое последующее треугольное число получается прибавлением к предыдущему треугольному числу номера числа в ряду (1; 3; 6; 10;15; 21…). Например, 1 +2 =3, 3 +3 = 6, 6 + 4 =10, 10 + 5 = 15, 15 + 6 + 21, 21 + 7 = 28.

10. Каждое третье число любой строки с номером больше 2 равно сумме третьего числа (предыдущего треугольного) и второго числа (номера строки) предыдущей строки.

Например, 5 строка 1 5 10 10 5 1

6 строка 1 6 15 20 15 6 1

11. Четвёртое число каждой строки является тетраэдрическим, то есть, имея соответствующее количество шаров равных диаметров, их можно выложить

в виде тетраэдра - один шар мы можем положить на три - итого четыре, под три подложим шесть - итого десять, и так далее.

Третья зеленая линия покажет нам тетраэдральные числа (1, 4, 10, 20, 35, 56, 84,120,165, 220.…).

12. Каждое последующее тетраэдрическое число получается прибавлением к предыдущему тетраэдрическому числу треугольного числа с тем же номером.

Но каждое четвертое число любой строки с номером больше 3 равно сумме четвёртого числа (предыдущего тетраэдрального) и третьего (треугольного числа) предыдущей строки.

13. Каждая строка треугольника Паскаля содержит чётное количество нечётных чисел.

Это следует из того, что сумма всех чисел строки – чётное число (степень 2), сумма всех четных чисел - чётна. Значит, сумма нечетных чисел - чётна, а, следовательно, нечётных чисел должно быть чётное количество.

14. Если все нечётные числа треугольника Паскаля закрасить чёрным цветом, а все чётные – белым, то получится, так называемый, треугольник Серпинского

( назван в честь польского математика, получившего его в 1915 году).

Итак, в строке с номером n:

• первое и последнее числа равны 1.

• второе и предпоследнее числа равны n.

• третье число равно треугольному числу , что также равно сумме номеров предшествующих строк.

• четвёртое число является тетраэдрическим

• m-е число равно биномиальному коэффициенту .

• Сумма чисел восходящей диагонали, начинающейся с первого элемента (n-1)-й строки, есть n-е число Фибоначчи:

• Если вычесть из центрального числа в строке с чётным номером соседнее число из той же строки, то получится число Каталана.

• Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна .

• Простые делители чисел треугольника Паскаля образуют симметричные самоподобные структуры.

• Если в треугольнике Паскаля все нечётные числа окрасить в чёрный цвет, а чётные — в белый, то образуется треугольник Серпинского.

• Все числа в n-й строке, кроме единиц, делятся на число n, если и только если n является простым числом (следствие теоремы Люка).

• Если в строке с нечётным номером сложить все числа с порядковыми номерами вида 3n, 3n+1, 3n+2, то первые две суммы будут равны, а третья на 1 меньше.

• Каждое число в треугольнике равно количеству способов добраться до него из вершины, перемещаясь либо вправо-вниз, либо влево-вниз.

Этап 5. Составление последовательности тренировочных задач по теме “Треугольник Паскаля”.

Задача 1. Существует ли в треугольнике Паскаля число 2010?

Задача 2.

Найти сумму биномиальных коэффициентов десятой строки треугольника Паскаля.

Решение: 1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

      Задача 3. Написать разложение вида:

      Решение. Воспользовавшись строкой треугольника Паскаля с номером 6 и применив основное свойство треугольника Паскаля, получим строку с номером 7:

6
7

      Следовательно,

Задача 4. Выпишите разложение (2a+b) .

Решение: (2a+b) = 128a + 7•(64a6)b + 21• 32a b + 35•16 a b +35 •8a b + 21•4a b + 7•2 ab6 + b = 128a + 448a6b + 672a b + 560 a b + 280a b + 84a b +14 ab6 + b

Задача 5.

Найдите коэффициент разложения (a+3b) для слагаемого, содержащего буквенную часть, равную а b.

5 строка: 1 5 10 10 5 1

Так как х = а, у = 3b, то 5х у = 15a b

Ответ: коэффициент разложения равен 15

Задача 6.

В пятнадцатой строке прочередуйте знаки “+” и ”-“. Чему равно значение полученного выражения?

Задача 7.

Какое число, большее 1, содержится в треугольнике Паскаля более трёх раз? четырех раз?

Ответ: таких чисел нет.

Задача 8.

Сколько нечетных чисел в 8-ой строке, в 16-ой, 32-ой?

Решение: Каждая строка треугольника Паскаля содержит чётное количество нечётных чисел.

8 строка: 1 8 28 56 70 56 28 8 1

16 строка:

1 16 120 560 1720 3868 7008 10340 11870 10340 7008 3868 1720 560 120 16 1

Ответ: в 8,16, 32 строках по 2 нечётных числа.

Задача 9.

Во сколько раз сумма чисел в 12-ой строке треугольника больше суммы чисел в 7-ой строке?

Решение: Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна .

Значит, сумма чисел в 12-ой строке треугольника больше суммы чисел в 7-ой строке в 2 = 32 раза.

Задача 10.

Сколькими способами шахматный король может пройти из левого нижнего угла в правый верхний?

Решение: Размеры шахматного поля: 8 на 8

Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна , а 2 в 8 степени составляет 256.

Задача 11.

Сколькими способами можно решить правильно 4 уравнения из 9?

Пронумеруем уравнения: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

(1,2,3,4), (1,2,3,5), (1,2,3,6), (1,2,3,7), (1,2,3,8), (1,2,3,9),

(2,3,4,5), (2,3,4,6), (2,3,4,7), (2,3,4,8), (2,3,4,9),

(3,4,5,6), (3,4,5,7), (3,4,5,8), (3,4,5,9),

(4,5,6,7), (4,5,6,8), (4,5,6,9),

(5,6,7,8), (5,6,7,9).

Ответ: 20 способов.

3. Методика работы над проектом.

Работа на первом этапе (получение треугольника Паскаля) носила репродуктивный характер. Нам необходимо было на практике применить знания, полученные при изучении темы “Многочлены”, при этом мы учились самоанализу.

Этап 2 (корректировки знаний и поиска исторического материала) проходил самостоятельно и не требовал специальной подготовки от учителя, кроме, возможно, рекомендаций по выбору учебной литературы.

Этап 3 (“открытие” свойств треугольника) являлся основным в данной работе и предполагал возможность помощи учителя, как при поиске гипотез, так и при их доказательстве. Выбор способа действий мы осуществляли самостоятельно.

Четвёртый этап (составление задач) носил творческий характер. Для его выполнения нам было необходимо понимание принципа возведения двучлена в любую натуральную степень и хорошее знание свойств треугольника. Составление задач - это способ проверки уровня усвоения материала.

4. Заключение 

Итак, мы проверили, что существует более короткий способ возведения двучлена в натуральную степень n больше 3, чем умножение многочлена на многочлен.

Получив треугольник Паскаля, мы выяснили, какими свойствами обладают биномиальные коэффициенты.

Узнали, что этот материал имеет применение в теории вероятностей и обладает занимательными свойствами.

Доказали, что треугольник Паскаля – это важное и существенное правило в математике, которое значительно облегчает процесс расчётов.

Рассмотренные удивительные свойства треугольника Паскаля подтверждают слова Мартина Гарднера о том, что треугольник Паскаля одна из наиболее изящных схем во всей математике.

5.Список литературы.

1. Проектные задачи в начальной школе: пособие для учителя /

[А. Б. Воронцов, В. М. Заславский, С. В. Егоркина и др.]; под ред.

А. Б. Воронцова.-2-е изд. - М.: Просвещение, 2010. – 176с.

2. Треугольник Паскаля. В. А. Успенский. - 2 - е изд. – М.:Наука,

1979. – 48с.

3. Энциклопедия для детей. Т 11. Математика / Глав. ред. М. Аксенова;

метод. и отв. ред. В. Володин. – М.: Аванта+,2004. – 688с.

1. http://.nkj.ru/archive/articles/13598

2. http://www.kazan-math.info/

17