Алгебра "Предел последовательности"

Предел последовательности

а) 1, 2, 3,…, n ,….

б) 1, -1/2, 1/3, -1/4,…,

в) sin 1, sin 2, sin 3,…, sin n ,…

Любое число в совокупности имеет номер

в соответствии с тем местом , которое оно

занимает и от него зависит .

Пример: n=12

а) a 12 =12

б) b 12 =-1/12

в) c 12 =sin 12

ОПР. Совокупность чисел , каждое

из которых имеет свой номер n є N

и от него зависит, называется

числовой последовательностью .

X n ={X 1 ,X 2 ,…,X n }

a n ={a 1 ,a 2 ,…,a n }

Задать числовую последовательность, значит указать как отыскивается любой ее член, если известен номер занимаемого им места.

• Описание

( x n )-последовательность приближенных значений √2 с недостатком с точностью до 0,1; 0,01; 0,001…

√ 2=1,1421356…

(X n )={1,1; 1,14; 1,142; 1,1421;…}

2. Формула n-го члена.

Формула, позволяющая найти любой член последовательности по его номеру

Назовите первые 5 членов последовательности ( X n )= n ²

Понятие сходящейся последовательности

Обратим внимание, что члены последовательности ( х n ) как бы «сгущаются» около точки 0, а у последовательности ( у n ) такой точки нет. В подобных случаях говорят, что последовательность ( х n ) сходится, а последовательность ( у n ) расходится.

Рассмотрим две числовые последовательности ( у n ) и ( х n ) и изобразим их члены точками на координатной прямой.

( у n ): 1, 3, 5, 7, 9,…, 2 n – 1,…;

( х n ):

у

5

11

9

0

7

3

1

13

х

0

1

Понятие сходящейся последовательности

( х n ): 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/6,…1/n,..

Точка сгущения – 0

Последовательность

сходится

( у n ): 1, 3, 5, 7,…,(2 n -1),...

Нет точки сгущения

Последовательность

расходится

Чтобы узнать является ли конкретная точка, взятая на прямой, «точкой сгущения» для членов заданной последовательности, введем следующее понятие.

Окрестность точки

Определение 1. Пусть а – точка прямой, а r – положительное число. Интервал (а - r; a + r) называют окрестностью точки а , а число r – радиусом окрестности.

Пример. (3,97; 4,03) – окрестность точки 4 , радиус равен 0,03.

х

a

a-r

a+r

В математике «точку сгущения» для членов заданной последовательности принято называть «пределом последовательности».

Определение 2. Число b называют пределом последовательности (у n ) , если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

Обозначение: 1. ( у n стремится к b или у n сходится к b );

2. (предел последовательности у n при стремлении n

к бесконечности равен b )

Предел последовательности

1, то lim q n не существует. n →∞ 3) lim С = С n →∞ 4) lim ( к /n m ) = 0 n →∞ " width="640"

Формулы

1) lim 1/ n = 0

n →∞

2) lim q n = 0, если 0 q |

n →∞

Если q 1, то lim q n не существует.

n →∞

3) lim С = С

n →∞

4) lim ( к /n m ) = 0

n →∞

Свойства вычисления пределов

Если lim х n = b и lim у n = c , то

n→∞ n →∞

1)Предел суммы равен сумме пределов:

lim ( х n + у n ) = lim х n + lim у n = b + c

n →∞ n→∞ n →∞

2)Предел произведения равен произведению пределов:

lim ( х n · у n ) = lim х n ∙ lim у n = b · c

n →∞ n→∞ n →∞

3)Предел частного равен частному пределов:

lim ( х n : у n ) = lim х n : lim у n = b : c

n →∞ n→∞ n →∞

4)Постоянный множитель можно вынести за знак предела:

lim ( k · х n ) = k · lim х n = k ∙ b

n →∞ n→∞

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Бесконечно убывающие геометрические прогрессии

Стороны квадратов:

1

1/2

1/4

1/8

1/8

1/4

1/2

1

Площади квадратов:

Бесконечно убывающие геометрические прогрессии

Последовательность длин сторон треугольников:

1см

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей , если модуль её знаменателя меньше единицы.

Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии при |q|

, то

, т.е.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Опр . Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей , если модуль её знаменателя меньше единицы.

Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

1). Является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей, если: b 7 = -30; b 6 = 15 ?

2). Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

-25; -5; -1;…

3). Записать бесконечную десятичную периодическую дробь 0,(9) в виде обыкновенной дроби.

Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии при |q|

Опр. Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называют число, к которому стремится сумма её первых n членов при n →

то

при

Поэтому

Число е.

• Если рассмотреть числовую последовательность:

с общим членом последовательности

то с ростом n значения будут возрастать, но никогда не будет больше 3.

• Это означает, что последовательность ограничена.

• Такая последовательность имеет предел, который равен числу е.

Понятие степени с иррациональным показателем

Свойства степеней

Пусть a - любое положительное число, которое не равно 1, α- любое иррациональное число.

• Пример:

Определите значение

Решение: определим целую часть значения . Она находится в пределах , или

Определим вторую цифру

Рассмотрим , где α-число иррациональное

Пусть - рациональные числа, приближения α с недостатком, такие , что

Под числом понимают предел, к которому стремится последовательность

Вернемся к примеру

• Покажем, что значение

так как

То

Свойства степеней

- не имеют смысла

Номера в классе и дома:

• № 4.51
• 4.49
• 4.52