Савельева С.А. учитель математики, информатики, физики МБОУ «Многопрофильный лицей «Здоровое поколение» с. Усады Лаишевского муниципального района Республики Татарстан
Публикация «Алгоритмы ускоренных вычислений»
В истории математики известно большое количество способов умножения, деления, сложения и вычитания, отличающихся либо схемой записи, либо самим ходом вычислений. Принятые у нас обычный способ умножения, вычитания и сложения «столбиком», деление «уголком», в котором многие часто допускают ошибки, является привычным для нас, но не самым удобным.
Рассмотрим некоторые приемы ускоренных вычислений при выполнении арифметических действий, возведении числа в квадрат, извлечение из квадратного корня и перевод обыкновенной дроби в десятичную дробь.
Умножение
1.Умножение числа на 11, 111 и т.д
Следует "раздвинуть" цифры числа, умножаемого на 11, и в образовавшийся промежуток вписать сумму этих цифр, причем если эта сумма больше 9, то, как при обычном сложении, следует единицу перенести в старший разряд.
7543∙ 11=82973, так как 3+4=7, 5+4=9, 7+5=12, 7+1=8
534 ∙ 111= 59274, так как 3+4=7, 5+4+3=12, 5+3+1=9
2.Умножение чисел, близких к 100
97 ∙ 95 = 9215
Находим дополнение каждого множителя до 100: 100 – 97 = 3, 100 – 95 = 5. Определяем произведение дополнений 3∙ 5 = 15. Из одного множителя вычитаем дополнение другого: 97 – 5 = 92.
3.Умножение двузначных чисел, у которых цифры десятков одинаковые, а сумма цифр единиц составляет 10
Округляем числа до десятков и находим их произведение, чтобы получить число сотен, и к числу сотен прибавляем произведение единиц.
34 ∙ 36 = 3∙4∙100+4∙6=1224
108∙102=11∙10∙100+8∙2=11016
4.Умножение двузначного числа на 101, 1001 и т.д.
Пожалуй, самое простое правило: припишите ваше число к самому себе. Умножение закончено. 57 ∙ 101 = 5757
324 ∙ 1001=324324
5.Умножение на число, записанное одними девятками
Для того чтобы найти произведение числа написанного одними девятками на число имеющее с ним одинаковое количество цифр надо от множителя отнять единицу и к получившемуся числу приписать другое число все цифры которого дополняют цифры указанного получившегося числа до 9.
8 ∙ 9 = 72 (т.к. 8 – 1 = 7, 9 – 7 = 2)
46 ∙ 99 = 4554
137∙ 999= 136 863
3562 ∙ 9999 = 35616438
6. Умножение на 25
Чтобы устно умножить число на 25, его делят на 4 и к частному приписывают два нуля. Например,72∙25= 72:4*100= 1800.
Если же число не делится нацело на 4, то поступаем таким образом: находим неполное частное и остаток от деления на 4, потом этот остаток умножаем на 25 и к неполному частному приписываем полученное произведение.
34 ∙ 25 = 850 (ост 2, 2 ∙ 25 = 50)
67 ∙ 25 = 1675 (ост 3, 3 ∙ 25 = 75)
7. Способ умножения В. Оконешникова
Изобретателем новой системы устного счёта является кандидат философских наук Василий Оконешников. Новая методика была опробована в нескольких российских школах и университетах.
15647 ∙ 5 = 78235
Каждую цифру числа умножаем на 5: 5, 25, 30, 20, 35. Полученные произведения складываем особым образом: пятая – 5, четвертая – 0 + 3 = 3, третья – 0 + 2 = 2, вторая – 5 + 3 = 8, первая цифра: 5 + 2 = 7. Если при сложении двух цифр получается число, превосходящее девять, то его первая цифра прибавляется к предыдущей цифре результата, а вторая пишется на «своё» место.
8. Прямое умножение
1) перемножают число десятков у множителей и к полученному результату приписывают два нуля.
2) число десятков первого множителя умножают на число единиц второго множителя и к полученному результату приписывают нуль.
3) Число единиц первого множителя умножают на число десятков второго множителя, к полученному результату приписывают нуль.
4) перемножают число единиц у множителей. Например, 26 ∙ 74: перемножим число десятков и к полученному результату припишем два нуля: 2 ∙ 7 =14(00). Умножим число десятков первого множителя (2) на число единиц второго множителя(4) и к полученному результату припишем нуль: 2 ∙ 4 = 8(0). Умножим число единиц первого множителя (6) на число десятков второго множителя (7) и к полученному результату припишем нуль: 6 ∙ 7 = 42 = 420. Перемножим число единиц: 6 ∙ 4 = 24. Тогда 26 ∙ 74 = 1400 + 80 + 420 + 24 =1924.
9.Умножение чисел, оканчивающихся на 1
Надо перемножить цифры десятков и к полученному произведению прибавить сумму десятков и единиц.
81∙31=80∙30+(80+30) +1=2400+111=2511
61∙51=60∙50+(60+50)+1=3000+111=3111
10.Умножение двузначных чисел, у которых сумма цифр десятков равна 10, а цифры единиц одинаковые
Перемножаем цифры десятков и прибавляем цифры единиц, получим число сотен и затем к числу сотен приписываем число единиц.
72∙32=(7∙3+2) ∙100+2∙2=2304
18∙98=(1∙9+8) ∙100+8∙8=1764
Сложение
Сложение – наиболее простое арифметическое действие, поэтому число упрощенных приемов сравнительно невелико. Рассмотрим их.
1.Представление двузначного числа в виде суммы двух слагаемых
Первое слагаемое – число десятков, второе – число единиц: 18+24=(10+20)+(8+4)=30+12=42
124+345=(100+300)+(20+40)+(4+5)=469
2.Сложение путем последовательного прибавления к одному числу отдельных разрядов другого числа, всегда начиная с высших
3745+637=(37+6) ∙100+45+37=4300+82=4382
3.Сложение путем округления чисел
96+47=100+47-4=143
2984+996+1998+4002=(3000+1000+2000+4000)-(16+4+2-2)=10000-20=9980
Вычитание
1.Вычитание с помощью круглого числа
Вычитание с помощью круглого числа. Если вычитаемое оканчивается на 9, 8, 7, 6 или 5, то нужно вычесть ближайшее к вычитаемому круглое число, а к полученному результату добавить 1, 2, 3, 4 или 5 соответственно.
Например: найдем разность чисел 567 и 29 с помощью круглого числа.
567 - 29 = 567 - (30 - 1) =(567- 30) + 1 = 537 + 1 = 538.
2. Вычитание с помощью замены вычитаемого
При вычитании с помощью замены вычитаемого используют следующий прием. Вычитаемое представляют в виде суммы двух чисел, одно из которых равно цифре в разряде единиц уменьшаемого. После этого из уменьшаемого последовательно вычитают оба этих числа.
Например: у уменьшаемого 563 цифра в разряде единиц равна 3. Поэтому представим вычитаемое 8 в следующем виде: 8 = 3 + 5. Тогда
563 - 8 = 563 - (3 + 5) = (563 - 3) - 5 = 560 - 5 = 555.
3.Раздельное поразрядное вычитание
574-243= (500-200)+(70-40)+(4-3)=331
68894-42413=(68000-42000)+(800-400)+(94-13)=26481
647-256=(500-200)+(140-50)+(7-6)=391
4.Вычитание путем уравнивания числа единиц последних разрядов уменьшаемого
456-128=(456+2)-128-2=(458-128)-2=330-2=328
1558-1219=1558-(1218+1)=(1558-1218)-1=340-1=339
Деление
1.Деление на 25
Чтобы число разделить на 25, надо это число разделить на 100 и умножить на 4
12100:25=12100:100∙4=121∙4=484
2.Деление на 75
Чтобы число разделить на 75, надо это число разделить на 300 и умножить на 4
2400:75=2400:300∙4=32
3.Деление на 50
Чтобы число разделить на 50, надо это число разделить на 100 и умножить на 2
21600:50=21600:100∙2=216∙2=432
4.Деление на 125
Чтобы число разделить на 125, надо это число разделить на 1000 и умножить на 8.
9000:125=9000:1000∙8=72
5.Деление на 37
Чтобы разделить число на 37, надо это число разделить на 111 и умножить на 3
999:37=999:111∙3=27
7.Последовательное деление
Если делитель является составным числом, то разлагаем его на два или большее число множителей, а потом выполняем последовательное деление:
240 : 32=(240 : 8) : 4=30 : 4=7,5
750 : 15=(750 : 5) : 3=150 : 3=50.
Возведение в квадрат
1.Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 5
Число десятков умножаем на следующее число десятков и прибавляем 25.
15∙15 = 225 = 10∙20+ 25 (или 1∙2 и приписываем справа 25)
2.Возведение в квадрат числа от 11 до 19
проводится суммированием трёх слагаемых: число, умноженное на 10, последняя цифра, умноженная на 10 и последняя цифра в квадрате: 162=160+60+36=256
3.Возведение в квадрат любого числа
67 ∙ 67 = 4489
В первой строке в ряд записываются квадраты цифр возводимого в квадрат числа по порядку. Для числа 67 это - 36 и 49. Следующая строка представляет собой удвоенное произведение цифр числа, в данном примере цифр 6 и 7. Затем вся эта "пирамида наоборот" складывается в столбик и получается искомый результат. Если какая-то цифра в квадрате своем дает однозначное число, или же удвоенное произведение каких-либо цифр является однозначным числом, то в ячейке, отведенной для записи данного результата в разряде десятков записывается "0", в разряде единиц - получившееся число, как в следующем примере: 381 ∙ 381 = 145161
Извлечение из квадратного корня
1. Метод оценки
Например, надо найти. Очевидно, что в квадрат возводили двузначное число, которое находится между числами 70 и 80, поскольку, 702=4900, 802=6400, а число 5041 находится между ними. Первую цифру в ответе мы уже знаем, это 7.
Последняя цифра в числе 5041 равна 1. Поскольку 12=1, 92=81, последняя цифра в ответе – либо 1, либо 9.
Проверим:712=(70+1)2=4900+140+1=5041.
Перевод в десятичную дробь
В десятичную дробь можно перевести дроби, у которых знаменатель можно представить в виде степени чисел 2, 5 или произведения их степеней.
Поэтому в десятичную дробь можно перевести дроби со знаменателями: 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50, 64, 80, 100, 125 и т.д.
10=2∙5
100= 22 ∙ 52
1000=23 ∙ 53
10000=24 ∙ 54
100000=25 ∙ 55 и т.д.
4∙25=100
8∙125=1000
, т.к 23 = 8, то дополнительный множитель – 53 = 125
, т.к 1000=25∙40
=0,0875, т.к 10000=125∙80
Рассмотрим некоторые из приемов устного счета, применяемые на уроках:
Умножение двузначного числа на 11.
Умножение на 11 числа, сумма цифр которого не превышает 10.
Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого меньше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр.
72 11 = 7 (7+2) 2 = 792;
35 11 = 3 (3+5) 5 = 385;
На уроках указанный приём умножения на 11 можно целиком применить и к дробным числам:
2,4 × 11 = 2(6),4=26,4
Ясно, что умножая на 11 число, имеющее десятые доли, мы в ответе также получим дробь, имеющую десятые доли. Сообразить поэтому, где надо в произведении поставить запятую, очень нетрудно.
0,34 х 11 = 3,(7)4 = 3,74, произведение будет иметь сотые доли.
53 х 1,1 = 583 : 10 = 58,3.
Умножая 53 на 11 (вместо 1,1), мы получаем произведение, которое в 10 раз больше истинного, поэтому мы результат умножения 53 на 11 разделили на 10.
Обычно на уроках при действиях над многозначными числами большая часть операций выполняется письменно.
Однако будет неправильным утверждение, что при выполнении действий над числами многозначными нет места устному счёту.
Когда многозначные числа удобны для устных вычислений, их должны ученики делать в уме.
Приведем примеры вычислений с многозначными числами, которые применяются нами в практике
1) 6798 + 2200 = 8998.
Так как от сложения разрядов не получаются единицы более высокого разряда, сложение легко произвести устно, записав слагаемые в строку, а не в столбик, и вы¬полняя сложение, начиная с высших разрядов.
2) 248 + 249 + 251 = 248 + 500 = 748.
Так как 49 дополняет 51 до 100, то и тут всё легко подсчитать в уме. ./
3) 6446 — 3223 = 3223.
Числа симметричны, при вычитании не приходится занимать единицы высшего разряда.
4) 12 200 +12 250+12220+12210=12200 х4 + 80=48880.
Так как все слагаемые отличаются десятками и единицами, мы заменили сложение четырёх одинаковых сла-гаемых 12 200 умножением на 4 и к произведению прибавили 80.
5) 84 х 24 = 84 х 25 —84 = 2100 —84 = 2016.
Умножение 84 па 24 мы произвели, воспользовавшись двумя приёмами устного счёта: округлили множитель до 25, умножили 84 на 25 известным нам способом и вычли из произведения излишне взятые 84.
6) 4141 +2525= 6666.
Числа симметричные легко складываются в уме.
7) 1024 :16 = (1024 :8): 2 = [(1000 + 24): 8]: 2 = •/ = 128:2 = 64.
Конечно, можно всё это произвести без такой подробной записи, цель которой объяснить приём.
8) 34 х 49= 34 X 50 — 34= 1700 — 34= 1666.
Сочетание округления с приёмом умножения на 50.
9) 4575 : 25 = (4500 + 75) : 25 = 180 + 3 = 183.
Здесь мы применили приём разложения делимого на два слагаемых, кратных делителю. При делении 45 сотен на 25 мы рассуждали так: в одной сотне 25 содержится 4 раза, а в 45 сотнях в 45 раз больше. При умножении 4 на 45 мы переставили сомножители и 45 умножили на 2 (это 90) и ещё раз на 2. Получили 180 да ещё 3.
10) 2750 : 55 = (2750 : 5): 11 = 550 : 11 = 50.
Приём последовательного деления на составные сомножители делителя дал быстрый результат.
11) 48х 225 = 225 х 2 х2х 12 = 900 х 12= 10800.
Умножение 225 на 2 и ещё на 2 дало «удобное» для дальнейшего вычисления число 9 сотен. Умножение 9 на 12 лучше в уме произвести так: 12 х 9 = 90 + 18 = 108.
12) 570 х 999 = 570 х 1000 — 570 = 570 000 — 570 = 569 430.
Из 1000 вычитание 570 проще всего произвести дополняя 570 до 1000.
13) 960 X 125 = 960 : 8 х 1000 = 120000.
Применяем приём умножения па 125: уменьшаем множимое в 8 раз, а множитель увеличиваем в 8 раз. Деление (уменьшение в 8 раз) делимого на 8 производим по разрядам.
Список литературы:
1. Александрова В. А. Устный счет – гимнастика ума (Законы математической логики). – Кемерово: ГБОУ СПО «Кемеровский аграрный техникум», 2013.
2. Бикташева Л.В. «Алгоритмы ускоренных вычислений» - М.: Чистые пруды, 2007 – Библиотека «Первого сентября», серия «Математика».
3. Камаев П. М. Устный счет – М.: Чистые пруды, 2007 – Библиотека «Первого сентября», серия «Математика».
4. Мельникова Н. Развитие вычислительной культуры учащихся // Математика в школе.- 2001.- №18.- С. 9-14.
5. Татарченко Т.Д. Способы быстрого счета на занятиях кружка – Математика в школе, № 7, 2008 г.
6. Филиппов Г. Устный счет – гимнастика ума // Математика. - 2001. - №3. - С. 25-27.
9
503
106 274 
