АНАЛИЗ ЗАДАНИЙ 8 егэ

Задача 8 .

Как мы говорили во введении, в задаче 8 требуется умение решать простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы.

Приведем основные формулы, которые помогут при решении заданий 8.

I. Призма

• (для прямой);

(для наклонной).

2) .

II. Пирамида

1).

(для правильной)

2).

III. Усеченная пирамида

1).

(для правильной )

2).

IV. Цилиндр

1).

2).

V. Конус

1).

2).

VI. Усеченный конус

1).

2).

VII. Шар

1).

2).

1. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины .

Прототипы задачи 8 содержат много различных примеров на указанные выше виды задач. В данном параграфе мы попытаемся привести основные из них.

Решение . Обозначим искомое ребро через х . По условию 2∙3∙4+2∙3∙ х +2∙4∙ х = 94. Решением полученного уравнения является х = 5.

Ответ. 5.

2. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 5, а высота — 10.

Решение.

По формуле I.1) :

Ответ. 300.

3. Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8, и боковым ребром , равным 10.

Решение. Здесь придется использовать и планиметрические факты: - формула для вычисления площади ромба, + – формула, выражающая соотношение между диагоналями ромба и его стороной. Пользуясь второй формулой, находим: . Тогда площадь поверхности призмы равна = ∙ 6∙8+4∙5∙10=248.

Ответ. 248 .

4.  Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.

Решение. Площадь большого круга шара равна , а площадь поверхности шара равна

Ответ. 12.

5. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 60. Площадь одной его грани равна 12. Найдите ребро параллелепипеда, перпендикулярное этой грани.

Решение. Если обозначить стороны параллелепипеда через a, b, c, то по условию

Ответ. 5 .

6. Найдите квадрат расстояния между вершинами С 1 и А прямоугольного параллелепипеда, для которого , .

Решение. Искомое расстояние – диагональ параллелепипеда. Воспользуемся свойством диагонали прямоугольного параллелепипеда (квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений): АС 1 2 = АВ 2 + АD 2 + AA 1 2 =5 2 +4 2 +3 2 =50 .

Ответ. 50.

7. Найдите угол прямоугольного параллелепипеда, для которого , для которого , .

Решение. Найдем длину диагонали BD 1.

BD 1 2 = АВ 2 +АD 2 +AA 1 2 =50, BD 1 =5 . Треугольник АВD 1 прямоугольный, по определению косинуса острого угла прямоугольного треугольника имеем

Ответ. 45.

.

8. Найдите угол прямоугольного параллелепипеда, для которого .

С 1 B C

ED

Решение .

Заметим, что ВВ 1 С 1 С квадрат, а искомый угол – угол между диагональю и стороной, а значит, он равен .

Ответ. 45.

Найдите расстояние между точками Е и С 1 .

. Он равнобедренный с углом 120

. По теореме

Из прямоугольного треугольника СЕС 1 по теореме Пифагора

найдем

9. В правильной шестиугольной призме

ED

все ребра равны 1 .

Решение.

Рассмотрим

косинусов найдем СЕ:

Ответ: 2.

Найдите расстояние между точками В и Е .

10. В правильной шестиугольной призме

все ребра равны 1 .

ED

Решение.

Расстояние ВЕ равно двум радиусам описанной около правильного шестиугольника окружности, а радиус в свою очередь равен стороне правильного шестиугольника. Таким образом, искомая длина составляет 2.

Ответ: 2.

Найдите расстояние между точками В и Е 1 .

11. В правильной шестиугольной призме

ED

все ребра равны .

Решение.

В 1 Е 1 =2ВВ 1 (т.к. призма правильная).

По теореме Пифагора

Ответ: 25.

Найдите тангенс угла АD 1 D.

=

12. В правильной шестиугольной призме

=1.

ED

все ребра равны 1 .

Решение.

прямоугольный.

Ответ: 1.

Найдите угол АС 1 С.

Ответ дайте в градусах.

=

13. В правильной шестиугольной призме

=1.

ED

все ребра равны 1 .

Решение.

Из : по теореме косинусов

а значит искомый угол составит 60 .

Ответ: 60.

14 . Найдите расстояние между вершинами А и С 2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

=

=1.

ED

Решение.

АС 2 – диагональ параллелепипеда с измерениями 2, 2, 1. По свойству диагонали прямоугольного параллелепипеда она равна

Ответ: 3.

15 . Найдите квадрат расстояния между вершинами D и С 2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Ответ: 5.

=

=1.

ED

Решение.

DC 2 - диагональ прямоугольника размером 2х1, по теореме Пифагора 2 2 +1 2 =5.

Ответ: 3.

16 . Найдите расстояние между вершинами B 1 и D 2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

=

=1.

ED

Решение.

B 1 D 2 – диагональ воображаемого параллелепипеда с измерениями 2, 1, 2. По свойству диагонали прямоугольного параллелепипеда она равна 3.

Ответ: 60.

17 . Найдите угол многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

=

=1.

ED

Решение.

Рассмотрим . Он равносторонний, а значит все его углы по .

Ответ: 3.

18 . Найдите квадрат расстояния между вершинами В 2 и D 3 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

=

=1.

ED

Решение.

В 2 D 3 2 =1 2 +1 2 +1 2 =3, по свойству диагонали прямоугольного параллелепипеда.

Ответ: 14.

19 . Найдите квадрат расстояния между вершинами В и D 2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

=

=1.

ED

Решение.

BD 2 2 =C 1 D 2 2 +CC 1 2 +C 1 D 1 2 =2 2 +3 2 +1 2 =14.

Ответ: 17.

20 . Найдите квадрат расстояния между вершинами А и С 3 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

=

=1.

ED

Решение.

АС 3 2 =2 2 +2 2 +3 2 =17.

Ответ: 3.

21 . Найдите тангенс угла многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

=

=1.

ED

Решение.

Из прямоугольного треугольника

имеем С 2 С 3 =1, В 2 С 2 =3, т.о.

Ответ: 2.

22 . Найдите тангенс угла многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

=

=1.

A B В 3

ED

Решение.

Ответ: 3.

23 . Найдите тангенс угла многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

=

=1.

С 3 D 3 В 3

ED

Решение.

24 . Найдите квадрат расстояния между вершинами D и С 2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Ответ: 6.

=

=1.

ED

Решение.

DC 2 2 = 2 2 +1 2 +1 2 =6.

Ответ: 45.

25 . Найдите угол D 2 E F

многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

=

.

=1.

ED

Решение.

D 2 E F

• это угол между стороной и диагональю

квадрата со стороной 2, а значит искомый угол 45 .

Ответ: 60.

26 . Найдите угол EАD 2

многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

=

.

=1.

ED

Решение.

Рассмотрим треугольник EАD 2 .

Он равносторонний, а значит, все его углы равны

27. В правильной треугольной

пирамиде SABC N – середина ребра ВС,

S- вершина. Известно, что АВ = 1, а площадь боковой поверхности равна 3.

Найдите длину отрезка SN.

,

,

=

.

.

N

а значит, площадь треугольника SВС составляет 1,

Решение. Площадь боковой поверхности

Ответ . 2

28. В правильной треугольной

пирамиде SABC L – середина ребра ВС,

S- вершина. Известно, что SL = 2, а площадь боковой поверхности равна 3.

Найдите длину отрезка AB.

,

,

=

.

.

SB=SC и SL –медиана, значит SL – высота.

S бок.пов. =S ASB +S BSC +S ASC =3 S BSC =3,

Рассмотрим

Решение.

Ответ . 1.

29. В правильной треугольной

пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке М. Площадь треугольника АВС равна 3, объем пирамиды равен 1. Найдите длину отрезка МS.

,

,

=

.

.

Решение.

М – точка пересечения медиан в правильном треугольнике АВС, SМ= h –высота пирамиды. По формуле объема

Ответ . 1.

30. В правильной треугольной

пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке М. Площадь треугольника АВС равна 3, МS = 1. Найдите объем пирамиды.

,

,

=

.

.

Решение.

Ответ . 1.

31. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка О – центр основания, S- вершина, SO = 4, AC = 6. Найдите боковое ребро SC.

,

,

=

.

.

Решение.

О - середина АС , АО = АС/ 2=3.

Треугольник АSО – прямоугольный, по теореме Пифагора

Ответ . 5.

32. В правильной треугольной

пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке P. Объем пирамиды равен 1, PS = 1. Найдите площадь треугольника ABC.

,

,

=

.

.

Решение .

H=РS=1, V =1 ,

Ответ . 3.

33. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка О – центр основания, S- вершина, SС = 5, AC = 6. Найдите длину отрезка SО.

,

,

=

.

.

Решение.

О - середина АС , АО = АС/ 2=3.

Треугольник СSО – прямоугольный, по теореме Пифагора

Ответ . 4.

34. В правильной треугольной пирамиде SABC R – середина ребра BC, S- вершина Известно, что AB = 1, а SR = 2. Найдите площадь боковой поверхности.

,

,

=

.

.

Решение.

SR – медиана в равнобедренном треугольнике SBC, значит SR – высота треугольника.

.

S бок.пов. =S ASB +S BSC +S ASC =3 S BSC =3.

Ответ . 3.

35. Высота конуса равна 4, а диаметр основания — 6.

Найдите образующую конуса.

Решение .

h=4, l=6, d=2r, r=6:2=3.

По теореме Пифагора

Ответ. 5.

36. Высота конуса равна 4, а длина образующей — 5.

Найдите диаметр основания конуса.

Решение .

h=4, l=5 .

По теореме Пифагора

d=2r=6.

Ответ. 6.

37. Диаметр основания конуса равен 6, а длина образующей — 5.

Найдите высоту конуса.

Решение .

d=6, l=5, d=2r, r=6:2=3.

По теореме Пифагора

Ответ. 4.

38. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 2π , а диаметр основания — 1. Найдите высоту цилиндра.

Решение .

S бок.пов. = 2πr h , откуда

Ответ. 2.

40. Высота конуса равна 4, а длина образующей — 5.

Найдите диаметр основания конуса.

Решение .

l = 5 , h=4.

Пифагора

d = 2r = 6.

Ответ. 6.

41. Диаметр основания конуса равен 6, а длина образующей — 5.

Найдите высоту конуса.

Решение .

d=6, l=5, d=2r, r=6:2=3.

По теореме Пифагора

Ответ. 4.

42. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 2π , а высота — 1. Найдите диаметр основания.

Решение .

Ответ. 2.

Ответ: 60.

42 . Найдите угол С А D 2

многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

=

.

=1.

ED

Рассмотрим треугольник , где

т. к. являются диагоналями в равных прямоугольниках.

Следовательно, треугольник

– равносторонний, а угол равен

Решение.

Ответ: 2.

44 . Найдите тангенс угла многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

=

B 2 A 2 C 2

=1.

ED

Решение.

Рассмотрим прямоугольный треугольник

B 2 A 2 C 2 .