Анализ задания № 13 ЕГЭ математика (профиль)

АНАЛИЗ задания № 13 ЕГЭ по математике (профиль)

Загвоздина Наталия Викторовна,

учитель математики, ВКК, МБОУ «Черноусовская СОШ № 19»

Задание № 13 тригонометрическое, логарифмическое или показательное уравнение.

Задание состоит из двух частей:

а) Решить уравнение.

б) Указать корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Пример:

Задание № 13 тригонометрическое, логарифмическое или показательное уравнение.

№ задания

№ 13

0 баллов

51,94

1 балл

№ 16

2 балла

№ 19

6,58

60,45

41,48

79,41

3 балла

№ 15

17,56

№ 17

80,06

18,78

4 балла

21,99

-

1,22

84,33

-

0,94

-

№ 18

7,08

-

19

0,22

89,32

0,37

0,94

-

3,46

3,94

-

7,65

-

0,02

3,26

• Чаще всего – это тригонометрическое уравнение с отбором корней, принадлежащих заданному отрезку.
• Максимальный первичный балл – 2. Допускается частичное решение этой задачи (верное решение пункта а)
• Задание отличается самым высоким уровнем решаемости во 2-ой части (48,06%)

Задание № 13 тригонометрическое, логарифмическое или показательное уравнение.

В 2024 году получили

• 2 балла - 41,48% ,
• 1 балл - 6,58% ,
• 0 баллов - 51,94% (решили неверно или не приступали к решению вообще)

Снижение на 1 балл, в большинстве случаев, за необоснованный отбор корней в пункте б). За НЕвычислительную ошибку в пункте а, согласно критериям, 0 баллов .

Разновидности уравнений (открытый банк заданий ФИПИ)

• показательные,
• тригонометрические,
• показательные с тригонометрией,
• тригонометрические с корнями,
• логарифмические с тригонометрией.

Показательные уравнения

• Однотипные

• Решение с использованием двойной замены переменной,

• Сложности могут возникнуть в отборе корней, (т.к. концами отрезка являются логарифмы)

Показательные уравнения

Показательные уравнения

Знания и умения

Трудности/ошибки

• Свойства степени
• Метод замены переменной
• Формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения
• Биквадратное уравнение, его решение
• Определение логарифма, запись числа в виде логарифма с заданным основанием
• Свойства логарифмической функции (для сравнения логарифмов)

• В применении свойств степени (в частности, с отрицательным показателем)
• В отборе корней, принадлежащих отрезку, концы которого выражены логарифмами.
• В записи числа в виде логарифма с заданным основанием
• В сравнении логарифмов и чисел
• В решении биквадратного уравнения

Тригонометрические уравнения

• Много разновидностей

• Различные способы решения (замена переменной, приведение к квадратному уравнению, разложение на множители и т.д.)

• Предварительное упрощение с помощью тригонометрических формул, формул приведения, четности и нечетности функции и т.д.

Тригонометрические уравнения

• предварительно упрощается с помощью свойств четности и нечетности тригонометрических функций,
• решается разложением на множители (способ группировки)
• отбор корней – с помощью числовой окружности
• В ответе две части:

а)…..

б)…..

Тригонометрические уравнения

• предварительно упрощается с помощью формул приведения

• решается разложением на множители (с применением формул сокращенного умножения)

• отбор корней – с помощью числовой окружности

• в ответе две части:

а)…..

б)…..

Тригонометрические уравнения

Знания и умения

Трудности/ошибки

• Тригонометрические формулы
• Формулы приведения
• Тригонометрический круг
• Значения sin, cos и tg углов 0, /6, /4, /3, ,
• Свойства четности и нечетности тригонометрических функций
• Формулы корней простейших тригонометрических уравнений
• Формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения
• Способы разложения на множители
• Метод замены переменной

• В применении формул приведения
• В использовании формул решения простейшего тригонометрического уравнения.
• Неверно указанный период при решении простейших уравнений.
• Неверно найденные значения арксинуса и арккосинуса.
• Деление обеих частей уравнения на cos x или на sin x , что приводит к потере корня.
• Ошибки в формулах дискриминанта и корней квадратного уравнения,
• Некорректные записи при вычислении дискриминанта и корней (например, ставится знак равенства между очевидно неравными выражениями),

Показательные уравнения с тригонометрией

• Несколько разновидностей,

• Различные способы решения (замена переменной, приведение к квадратному или тригонометрическому уравнению, разложение на множители и т.д.)

• Предварительное упрощение с помощью тригонометрических формул, формул приведения, четности и нечетности функции и т.д.

Показательные уравнения с тригонометрией

• решается заменой переменной и переходом к квадратному уравнению

• отбор корней – с помощью числовой окружности

• в ответе две части:

а)…..

б)…..

Показательные уравнения с тригонометрией

Знания и умения

Трудности/ошибки

• Свойства степени
• Тригонометрические формулы
• Формулы приведения
• Тригонометрический круг
• Значения sin, cos и tg углов 0, /6, /4, /3, ,
• Свойства четности и нечетности тригонометрических функций
• Формулы корней простейших тригонометрических уравнений
• Формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения
• Способы разложения на множители
• Метод замены переменной

• В применении свойств степени (в частности, с отрицательным показателем)
• В применении формул приведения (не учитывается знак тригонометрической функции в четверти)
• Незнание формул решения простейшего тригонометрического уравнения
• Ошибки в формулах дискриминанта и корней квадратного уравнения
• Некорректные записи при вычислении дискриминанта и корней (например, ставится знак равенства между очевидно неравными выражениями)

Тригонометрические уравнения с корнями

• Однотипные: в знаменателе квадратный корень из sin или cos , в числителе – тригонометрическое выражение

• Накладываются ограничения на подкоренное выражение и знаменатель (ОДЗ)

• Решение сводится к нахождению значений х, при которых числитель обращается в 0.
• Обязательно проверить, входят ли найденные значения ОДЗ

Тригонометрические уравнения с корнями

• Накладываем ограничения на знаменатель (ОДЗ)
• Переходим к эквивалентному уравнению (приравниваем числитель к 0)
• Выполняются тригонометрические преобразования, разложение на множители левой части уравнения.
• Находятся корни уравнения и проверяются на соответствие ОДЗ
• Отбор корней – с помощью числовой окружности

Тригонометрические уравнения с корнями

Знания и умения

Трудности

• Свойства корней
• Ограничения на знаменатель и на квадратный корень
• Тригонометрические формулы
• Формулы приведения
• Тригонометрический круг
• Значения sin, cos и tg углов 0, /6, /4, /3, ,
• Свойства четности и нечетности тригонометрических функций
• Формулы корней простейших тригонометрических уравнений
• Формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения
• Способы разложения на множители
• Метод замены переменной

• В наложении ограничений на знаменатель и на квадратный корень
• В применении формул приведения (не учитывается знак тригонометрической функции в четверти)
• Незнание формул решения простейшего тригонометрического уравнения
• Ошибки в формулах дискриминанта и корней квадратного уравнения
• Некорректные записи при вычислении дискриминанта и корней (например, ставится знак равенства между очевидно неравными выражениями)

Логарифмические уравнения с тригонометрией

• Несколько разновидностей

• Накладываются ограничения на подлогарифмическое выражение и знаменатель (если есть) (ОДЗ)

• Различные способы решения (замена переменной, приведение к квадратному или тригонометрическому уравнению, разложение на множители и т.д.)

• Обязательно проверить, входят ли найденные значения ОДЗ

Логарифмические уравнения с тригонометрией

• Накладываются ограничения на подлогарифмическое выражение (ОДЗ)

• Решается заменой переменной и переходом к квадратному уравнению

• Находятся корни уравнения и проверяются на соответствие ОДЗ

• Отбор корней – с помощью числовой окружности

Логарифмические уравнения с тригонометрией

Знания и умения

Трудности

• Свойства логарифмов
• Ограничения на знаменатель и на логарифм
• Тригонометрические формулы
• Формулы приведения
• Тригонометрический круг
• Значения sin, cos и tg углов 0, /6, /4, /3, ,
• Свойства четности и нечетности тригонометрических функций
• Формулы корней простейших тригонометрических уравнений
• Формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения
• Способы разложения на множители
• Метод замены переменной

• В наложении ограничений на знаменатель и на логарифм
• В применении формул приведения (не учитывается знак тригонометрической функции в четверти)
• Незнание формул решения простейшего тригонометрического уравнения
• Ошибки в формулах дискриминанта и корней квадратного уравнения
• Некорректные записи при вычислении дискриминанта и корней (например, ставится знак равенства между очевидно неравными выражениями)

Для выполнения задания нужно знать и уметь применять:

- тригонометрические формулы,

- формулы приведения,

- формулы для нахождения корней простейших тригонометрических уравнений,

- свойства функций (тригонометрических, логарифмической, показательной),

- табличные значения sin, сos и tg углов 0, , , , , π, 2π

- тригонометрическую окружность ,

- определение и свойства логарифмов,

- свойства степени и квадратного корня,

- формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения,

- методы решения уравнений,

- методы отбора корней.

Основные ошибки при выполнении первого пункта задания:

• в применении формул приведения (не учитывается знак тригонометрической функции в четверти),
• незнание формул корней простейших тригонометрических уравнений,
• деление обеих частей уравнения на cos x или на sin x , что приводит к потере корня,
• неверно указанный период при решении простейших уравнений,
• неверно найденные значения арксинуса и арккосинуса,
• ошибки в формулах дискриминанта и корней квадратного уравнения,
• некорректные записи при вычислении дискриминанта и корней (например, ставится знак равенства между очевидно неравными выражениями),
• в преобразованиях выражений, содержащих квадратные корни, степени.

Основные ошибки при выполнении второго пункта задания:

• при отборе корней арифметическим способом : - не все корни найдены, - не показан отбор корней,
• при отборе корней алгебраическим способом : - неумение отбирать целые значения при решении двойного неравенства с последующим отысканием значений корней уравнения
• при отборе корней с помощью тригонометрической окружности : - на окружности не отмечены концы рассматриваемого отрезка, не подписаны значения, соответствующие концам отрезка, отрезок не выделен, - на окружности решения показаны точками, но соответствующие им значения не подписаны, - на окружности отмечены не все решения, - на окружности отмечены точки, не являющиеся решениями (не принадлежащие заданному отрезку), - ошибки в определении соответствующего значения для точки.

Внимание!!!!!

В значительной части работ, которые оценили в 1 балл , отметка была снижена именно

за отсутствие отбора

или

недостаточную его аргументацию

Отбор корней с помощью тригонометрической окружности

Ответ к пункту а):

На тригонометрической окружности должно быть :

1) Отмечены и обозначены концы числового отрезка.

2) Выделена дуга , соответствующая заданному отрезку.

3) Отмечены и обозначены корни ( точки, соответствующие корням данного уравнения).

При этом на дуге могут быть отмечены дополнительные точки, принадлежащие данной дуге.

4) Показать вычисление корней!!!

Данный способ –простой, наглядный, универсальный !

Отбор корней с помощью тригонометрической окружности

• Отбор корней по окружности возможен, если дуга меньше 2

• Обычно дается дуга длиной ¾ окружности.

Отбор корней способом перебора

При отборе необходимо показать: «недолет» , «попадание , «перелет» .

Начинаем и заканчиваем перебор корнями, которые не входят в промежуток. Иначе выбор будет не обоснован.

Отбор корней с помощью двойного неравенства

Ответ а):

Обязательно:

• Указан отрезок .

• Указаны корни, попавшие в отрезок.

• Указаны ближайшие корни, не попавшие в отрезок

Отбор корней с помощью графика

Ответ к пункту а):

Отбор корней с помощью числовой прямой

Обязательно:

• Указан отрезок.

• Указаны корни, попавшие в отрезок.

• Указаны ближайшие корни, не попавшие в отрезок

Ответ к пункту а):

Критерии проверки и оценка решений задания № 13

ВАЖНО!!!!

• Выделение решения уравнения в отдельный пункт а прямо указывает участникам экзамена на необходимость полного решения предложенного уравнения: при отсутствии в тексте конкретной работы ответа на вопрос пункта а задание оценивается 0 баллов .
• Ответ в задании с развёрнутым ответом — это решение и вывод (называемый ответом).

ВАЖНО!!!!

• Вычислительная ошибка – это ошибка, допущенная при выполнении арифметических действий: сложение, вычитание, умножение, деление.
• Любые ошибки, допущенные в тригонометрических формулах, в нахождении значений тригонометрических функций не относятся к вычислительным.
• Если допущена вычислительная ошибка, которая не привела к кардинальным изменениям в решении – 1 балл, если же в результате ошибки решение пошло по другому сценарию – 0 баллов.

Рекомендации по решению пункта а)

• Если в уравнении есть дроби, корни, логарифмы , т.е. для значений переменной есть ограничения, то выбираем любой из нижеприведённых способов: • выписываем полностью ОДЗ • выписываем «ограничения» для переменной • используем равносильные переходы в решении (этот вариант для самых смелых, кто отлично разбирается, в чем разница «системы» от «совокупности»)
• Обязательно!!!! проверяем, входят ли найденные корни в эту область или нет. Если в уравнении есть tg x – помним, что он существует, только если cos x не равен нулю.

Рекомендации по решению пункта а)

• Если уравнение решаем через замену, то обязательно обозначаем это словами «Пусть t =…» или «Сделаем замену t =…».
• Если после замены уравнение сводилось к квадратному, то обозначаем, каким способом оно решается: через дискриминант (важно правильно оформить нахождение D и корней уравнения!!!!) или с помощью теоремы Виета. (Лучше подробно расписать решение уравнения, пусть даже такого простого)

Рекомендации по решению пункта а)

• После решения уравнения в новой переменной, возвращаемся к старой, опять же обозначив это словами, например «Сделаем обратную замену»
• После того, как уравнение свелось к простейшим, решаем их.
• Можно находить корни с помощью тригонометрической окружности (это позволит отмеченные решения в дальнейшем легко перенести на тригонометрическую окружность в пункте б для отбора корней). Можно обозначить этот этап словами «Изобразим на единичной окружности корни уравнений». Рисуем единичную окружность, оси можно подписать как sin x и cos x, обязательно отражаем на окружности ограничения (ОДЗ) дугой или выкалываем точки.

Рекомендации по решению пункта а)

• Можно ли для всех серий использовать один и тот же целочисленный параметр, например k?

Не будет ошибкой использование одной буквы, также как и использование разных букв (т.к. все серии корней не взаимосвязаны )

Рекомендации по решению пункта б)

• Отбор корней можно выполняем любым способом, к которому привыкли.
• Если выбираем способ через единичную окружность, то обозначим это словами «Отберем корни с помощью тригонометрической окружности» .
• На самой окружности обязательно отмечаем промежуток, на котором будем искать корни, подписываем концы промежутка, переносим корни уравнения, найденные в пункте а, попадающие в указанный промежуток, правильно их вычислив! (показать вычисление корней)

Рекомендации по записи ответа

• Ответ к заданию № 13 должен содержать две части :
• К пункту а) : Выписываем корни (серии корней) через запятую. Целочисленный параметр может быть указан или в самом конце для всех корней, или после каждой серии корней
• К пункту б) : Выписываем корни, попавшие в указанный промежуток через запятую. Здесь уже никаких серий корней!!!

Из практики…

Формулы:

• Основное тригонометрическое тождество ( выучить )
• Формулы двойного угла
• Формулы синуса и косинуса суммы

Четность и нечетность функций

sin(-х) = - sin х с и нус - м и нус

сos(-х) = сos х косинус - плюс

Из практики…

Формулы приведения:

Из практики…

Тригонометрическая окружность -

«палочка-выручалочка» - поможет

• в нахождении значений sin, сos

углов 0, , , , , π, 2π и т.д.;

• в определении знака

тригонометрических функций;

• в нахождении корней;
• в отборе корней.

Примеры оценивания решения задания № 13

Примеры оценивания решения задания № 13

№ 1

Комментарий эксперта:

Уравнение смешанного типа. Решается с помощью введения новой переменной. Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.

Оценка эксперта : 2 балла.

Примеры оценивания решения задания № 13

Примеры оценивания решения задания № 13

№ 2

Комментарий эксперта:

Обоснованно получен ответ в пункте а, но применяя формулу приведения автор минус ставит перед х, потом перед синусом. В пункте а) ошибки нет. В п. б выполнено все верно.

Оценка эксперта : 2 балла.

Примеры оценивания решения задания № 13

Примеры оценивания решения задания № 13

№ 3

Комментарий эксперта:

Уравнение тригонометрическое с применением формулы приведения. Ошибка в применении формулы приведения (4 четверть, должен стоять «плюс») и «сокращение» уравнения на cos x . При этом допущены две серьезные алгебраические ошибки.

Пункт б) не рассматривается.

Оценка эксперта : 0 баллов.

Примеры оценивания решения задания № 13

Примеры оценивания решения задания № 13

№ 4

Комментарий эксперта:

Логарифмическое уравнение, которое после введения новой переменной и обратной замены преобразовывается с помощью равносильных переходов в тригонометрическое.

Обоснованно получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки во втором корне квадратного уравнения, но при этом выполнены оба пункта. В пункте б) отборка корней выполнена с помощью окружности.

Оценка эксперта : 1 балл.

Примеры оценивания решения задания № 13

Примеры оценивания решения задания № 13

№ 5

Комментарий эксперта:

Ошибка в формулах корней квадратного уравнения. Эта ошибка не вычислительная, поэтому 0 баллов.

Пункт б) не рассматривается.

Оценка эксперта : 0 баллов.

Примеры оценивания решения задания № 13

Примеры оценивания решения задания № 13

№ 6

Комментарий эксперта:

Пример ошибки, которая не может быть отнесена к вычислительной.

Выполнена не та операция - вместо извлечения корня из числа, это число возведено в квадрат.

Пункт б) не рассматривается.

Оценка эксперта : 0 баллов.

Примеры оценивания решения задания № 13

Примеры оценивания решения задания № 13

№ 7

Комментарий эксперта:

Ошибка при возведении в степень в решении логарифмического уравнения. Эта ошибка не вычислительная, поэтому 0 баллов.

Пункт б) не рассматривается.

Оценка эксперта : 0 баллов.

Примеры оценивания решения задания № 13

Примеры оценивания решения задания № 13

№ 8

Комментарий эксперта:

Дробное тригонометрическое уравнение. Рассмотрены границы синуса и косинуса. Но неверно найдена область допустимых значений переменной и вычислительная ошибка при нахождении второго корня квадратного уравнения.

Пункт б) не рассматривается.

Оценка эксперта : 0 баллов.

Примеры оценивания решения задания № 13

Примеры оценивания решения задания № 13

№ 9

Комментарий эксперта:

Тригонометрическое уравнение с применение формулы - сумма углов. Из-за ошибки в тригонометрии в нахождении второго корня уравнения sin х = -1/2, пункт б) не засчитывается

Оценка эксперта : 0 баллов.

Примеры оценивания решения задания № 13

Примеры оценивания решения задания № 13

№ 10

Комментарий эксперта:

В работе два недостатка в решении тригонометрического уравнения. Ошибка в тригонометрии, в п. а) д. б. период /4 + n/2, в п. б) правильный ответ, но не показана отборка

Оценка эксперта : 0 баллов.

Примеры оценивания решения задания № 13

Примеры оценивания решения задания № 13

№ 11

Комментарий эксперта:

Обоснованно получен ответ в пункте а. В пункте б неправильно выделена часть окружности, которая должна соответствовать данному отрезку.

Оценка эксперта : 1 балл.

Источники информации:

В методических материалах характеризуются типы заданий с развёрнутым ответом, используемые в КИМ ЕГЭ по математике, и критерии оценивания выполнения заданий с развёрнутым ответом, приводятся примеры оценивания выполнения заданий и даются комментарии, объясняющие выставленную оценку.

Источники информации:

Открытый банк заданий ФИПИ

Источники информации: Материалы семинаров

Анализ итогов ЕГЭ по математике (27.09.2024)

Актуальные вопросы подготовки к ЕГЭ по математике (05.11.2024)