Анык эмес интеграл

Лекция №3. Баштапкы функция жана анык эмес интеграл

Сабактын максаты: Баштапкы функциянын аныктамасын жана негизги касиеттерин,

анык эмес интегралдын аныктамасын жана интегралдын

таблицасын, методдорун билишет.

Каралуучу тапшырмалар:

1. Баштапкы функция

2. Баштапкы функциянын негизги касиеттери

3. Анык эмес интеграл

4. Интегралдын таблицасы

5. Интегралдоонун методдору

1.Баштапкы функция

Биз берилген функция боюнча, анын туундусун табуу маселесин б.а. дифференцирлөө операциясын билебиз. Эми тескерисинче, функциянын туундусу берилсе, ал функциянын өзүн табуу маселеси менен б.а. интегралдоо операциясы менен таанышабыз.

Аныктама. Эгерде берилген (a;b) интервалындагы ар кандай x чекити үчүн функциясынын мааниси F(x) функциясынын туудусунун маанисине барабар, б.а. болсо, анда F(x) функциясы f(x) функциясынын (a;b) интервалындагы баштапкы функциясы деп аталат.

Мисал. функциясы функциясы үчүн сан огундагы баштапкы функция болот. Себеби ар кандай үчүн

Бирок функциясы да функциясы үчүн инетервалында баштапкы функция болот. Анткени ар кандай үчүн Ал эми ар кандай турактуу саны үчүн анын туундусу болгондуктан,

функциясы да функциясы үчүн интервалында баштапкы функция болот. Мындан, биз баштапкы функцияны табуу маселеси чексиз көп чыгарылышка ээ болорун көрдүк.

2.Баштапкы функциянын негизги касиеттери

Берилген функция үчүн анын бардык баштапкы функцияларын табуу маселеси интегралдоо болуп эсептелет. Мындай маселени чыгарууда төмөндөгүдөй теорема чоң мааниге ээ.

Теорема1. (Функциянын турактуулугунун белгиси). Эгерде кандайдыр бир аралыгында болсо, анда F функциясы бул аралыкта турактуу болот.

Теорема 2. аралыгында тин каалагандай баштапкы функциясын

түрүндө жазууга болот, мында - функциясынын аралыгындагы баштапкы функцияларынын бири, ал эми С – эрктүү турактуу сан.

Мисал. функциясынын деги баштапкы функцияларынын жалпы түрүн табабыз

Чыгаруу. тин баштапкы функцияларынын бири - функциясы экендигин көрөбүз, себеби Ошондуктан, далилденген теорема боюнча тин баштапкы функцияларынын жалпы түрү мындай болот:

болот.

Бул эрежелер туунду алуунун эрежелерине окшош.

1- эреже. Эгер үчүн баштапкы функция болсо, ал эми үчүн баштапкы функция болсо, анда үчүн баштапкы функция болот.

Чындыгында, жана болгондуктан, сумманын туундусун эсептөө эрежеси боюнча төмөнкүгө ээ болобуз:

2 – эреже. Эгер үчүн баштапкы функция, ал эми - турактуу чоңдук болсо, анда үчүн баштапкы функция болот.

Чындыгында турактуу көбөйтүүчүнү туунду белгисинин сыртына чыгарууга болот, ошондуктан

3 – эреже. Эгер функциясы үчүн баштапкы функция болуп, ал эми жана турактуу чоңдуктар, бирок болсо, анда функциясы функциясына баштапкы функция болот.

Чындыгында, татаал функциянын туундусун эсептөө эрежеси боюнча төмөнкүгө ээ болобуз:

Мисал. функциясы үчүн баштапкы функциялардын жалпы түрүн тапкыла.

Чыгаруу. функциясы үчүн баштапкы функциялардын бири , ал эми функциясы үчүн баштапкы функциялардын бири болсо, анда 1-эреже боюнча функциясы үчүн баштапкы функциялардын жалпы түрү төмөнкү функция болот:

3.Анык эмес интеграл

Аныктама. f (х) функциясынын анык эмес интегралы деп анын

(1)

баштапкы функцияларынын жыйындысын айтабыз жана төмөнкүдөй жазабыз:

, (2)

мында, - функциясы интеграл астындагы функция, ал эми

- интеграл астындагы туюнтма деп аталат.

Берилген функциянын баштапкы функциясын табуу операциясы интегралдоо деп аталат. Функцияларды дифференцирлөө жана интегралдоо операциялары - өз ара тескери операциялар болуп эсептелет.

Мисал. анык эмес интегралын тапкыла.

Чыгаруу. f (х) = 2х интеграл астындагы функциясынын баштапкы функциясы F(x) = х² + C болот, анткени (х² + C) = 2х.

Демек,

Анык эмес интеграл төмөнкүдөй касиеттерге ээ:

1⁰.

2°.

3⁰.

4°.

5°.

4.Интегралдын таблицасы

5.Интегралдоонун методдору

Интегралдоонун касиеттерин жана таблицасын колдонуп функцияны интегралдоо бир кыйла кыйынчылыктарды жаратса же интегралдоого мүмкүн эмес болсо, анда интегралдоонун: өзгөрүлмөлөрдү алмаштыруу аркылуу интегралдоо жана бөлүктөп интегралдоо методдорун колдонууга туура келет.

1. Өзгөрүлмөнү алмаштыруу аркылуу интегралдоо.

Мейли интервалында үзгүлтүксүз жана интервалында үзгүлтүксүз дифференцирленүүчү функция болсун. Мында, функциясы интервалын интервалына чагылдырат.

Интегралдын аргументти тандоодогу көз карандысыз касиетинин негизинде жана экендигин эске алып, анык эмес интегралдын өзгөрүлмөнү алмаштыруу аркылуу интегралдоосунун формуласын алабыз:

Мисал. Анык эмес интегралды тапкыла

аркылуу белгилесек, анда жана болот. Мындан

1. Бөлүктөп интегралдоо.

жана - үзгүлтүксүз дифференцирленүүчү функциялар болушсун. Көбөйтүндүнүн дифференциалынын формуласын жазабыз:

Мындан

келип чыгат. Барабардыктын эки жагын тең интегралдап, төмөнкүнү алабыз:

же

Акыркы формула – бөлүктөп интегралдоонун формуласы деп аталат. Мындай аталышынын себеби, интегралдын айрым бир бөлүгү интегралданып калат, экинчи бир бөлүгүн интегралдоого туура келет.

Мисал. Анык эмес интегралды тапкыла

+C.

Текшерүүчү суроолор:

1. Баштапкы функция деген эмне?

2. Баштапкы функциянын жалпы түрү кандай жазылат?

3. Баштапкы функциянын кандай касиеттери бар?

4. Анык эмес интеграл деп эмнени айтабыз?

5. Интегралдоонун кандай эрежелери бар?

6. Интегралдоонун таблицасын айтып бергиле.

7. Өзгөрүлмөнү алмаштыруу аркылуу интегралдоо деген эмне?

8. Бөлүктөп интегралдоо деген эмне?

9. Интегралдоонун методдорун качан колдонобуз?

Тесттик суроолор:

1. шарты аткарылса, анда функциясынын . . . деп аталат?

А)Баштапкы функциясы Б)Туундусу С) Предели Д) Интегралы

1. Берилген фнукциясы үчүн бардык баштапкы функциялардын жыйындысы ... деп аталат.

А)анык интеграл Б)анык эмес интеграл С)предели Д)туундусу

1. интегралын тапкыла?

A) Б) Д)

1. интегралын тапкыла?

А) Б) C) Д) С

1. интегралын тапкыла?

А) Б) C) Д)

1. интегралын тапкыла?

A) Б) С) Д)

1. интегралын тапкыла?

A) Б) Д)

1. интегралын тапкыла?

A) Б) Д)