Аныкталбаган интеграл

М атематикалык формулалар

Аныкталбаган интеграл

Аныктама: Эгерде жана функциялары үчүн кандайдыр бир аралыгында теңдештиги орун алса, анда аралыгында функциясы функциясынын баштапкы функциясы деп аталат.

Аныктама: функциясынын интервалындагы бардык баштапкы функциялардын тобун, берилген интервал боюнча функциясынан алынган аныкталбаган интеграл деп атайбыз жана

символу аркылуу белгилейбиз.

– интеграл алдыындагы туюнтма,

– интеграл алдыындагы функция,

интегралдоо өзгөрүлмөсү.

• Аныкталбаган интегралдын негизги касиеттери:

• Элементардык функцияларды интегралдоо таблицасы ( ):

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

• Интегралдоо ыкмалары:

1. Өзгөрүлмөлөрдү алмаштыруу же ордуна коюу усулу

1. Бөлүктөп интегралдоо усулу

• Жөнөкөй же элементардык бөлчөктөрдүү интегралдоо:

• Айрым жөнөкөй бөлчөктөрдүн интегралдары:

• Иррационалдык функцияларды интегралдоо. Эйлердин ордуна коюулары:

• Айрым иррационалдык функциялардын интегралдары;

• Айрым көрсөткүчтүү жана логарифмалык функциялардын интегралдары:

• Тригонометриялык функцияларды интегралдоо:

.

• Тригонометриялык ордуна коюулар:

• Айрым тригонометриялык функциялардын интегралдары:

• Интегралдык атайын функциялар:

d = – Пуассондун интегралы (каталыктардын интегралы),

d , d – Френелдин интегралдары,

= , - интегралдык логарифм (0 ≠1),

S = - интегралдык синус ( ,

C = - - интегралдык косинус (

1.Интегралдык косинус- 0 чыныгы саны үчүн

C = - =C + ln -

барабардыгы менен аныкталуучу атайын функция.Мында С=0,5772...-Эйлер турактуусу. кичине болсо, C ≈ C + ln . Математикага 1790-жылы Л.Маскерони киргизген.C ти кармаган айрым интегралдар төмөнкүчө болот: ,

,

ln2

мында -интегралдык синус.

Интегралдык косинус катар түрүндө төмөндөгүчө жазылат:

C = C + ln - + - ... + (-1)^к + ...

Интегралдык косинус интегралдык көрсөткүчтүү функция менен байланышы төмөнкүдөй:

C = [E ]

C тин 0 ыгы үчүн графикте сүрөттөлүшү төмөнкүдөй (1-сүрөт):

1-сүрөт.

2.Интегралдык синус. 0 чыныгы саны үчүн

S = = -

барабардыгы менен аныкталуучу атайын функция.Кээ бир учурда

S = S -

деп белгиленет. Математикага Л.Маскерони киргизген.Бирок ага чейин эле 1781-жылы Л.Эйлер S = Жекече маанилери: S =0, S = .

Негизги касиеттери:

1 . S = -S ;

2 . S + S ;

3 . ;

4 . ;

5 . ;

S катар түрүндө төмөндөгүдөй жазылат:

S = - + ...+ (-1)^к + ...

S интегралдык көрсөткүчтүү функция менен байланышы төмөнкүдөй:

S = = [E ] .

S

2-сүрөт [ 4 ;б)]

тин 0 ыгы үчүн графикте сүрөттөлүшү төмөнкүдөй (2-сүрөт):

3.Интегралдык көрсөткүчтүү функция.

Е = = барабардыгы менен аныкталуучу атайын функция. болгондо интеграл алдындагы функция =0 чекитинде чексиз үзгүлтүккө учурайт жана интегралдык көрсөткүчтүү функция бул интегралдын башкы мааниси болуп эсептелет:

Е =

Е төмөнкү катарлар түрүндө көрсөтүлөт:

Е + ln + ,

Е + ln + ,

мында С=0,5772...-Эйлер турактуусу. Интегралдык көрсөткүчтүү функциянын асимтотикалык берилиши төмөнкүдөй :

Е (1- + - + ...), .

Интегралдык көрсөткүчтүү функция интегралдык логарифм менен төмөнкүчө байланышат: Е ,

Е ,

Графикалык сүрөттөлүшү төмөнкүдөй(3-сүрөт):

3-сүрөт

4.Интегралдык логарифм.

= , интегралы менен аныкталуучу атайын функция.Бул интеграл элементардык функциялар аркылуу чектүү түрдө туюнтулбайт.Эгер болсо ,анда интеграл катары туюнтманын башкы мааниси алынат:

=

тин кичине маанисинде . Интегралдык логарифм катар түрүндө төмөнкүдөй жазылат:

= + ln ln + , , Мында С=0,5772...-Эйлер турактуусу. Интегралдык логарифмди Л.Эйлер 1768-жылы киргизген. Интегралдык логарифм натуралдык катарда жөнөкөй сандарды бөлүштүрүү маселеси менен тыгыз байланыштуу,ошондуктан сандар теориясында да чоң мааниге ээ.Графикте сүрөттөлүшү төмөнкүдөй (4-сүрөт):

4-сүрөт [4;в]

5.Френель интегралдары.

С = = ,

S = = ,

S = түрүндөгү атайын функциялар.Төмөнкү класстарга ажырайт:

С =

S = .

Ал эми, С = ,

S = ,

түрүндөгү интегралдар жалпыланган Френель интегралдары деп аталат. Френель интегралдары математикалык изилдөөдө ,оптикада жарыктын түшүү жана чагылуу бурчтарын аныктоодо колдонулат жана бул интегралдар жарык дифракциясынын маселелерин чыгарууда Жан Огюстен Френель тарабынан киргизилген.

М: интегралын эсептөө үчүн аралыгында

= - + - ...+ (-1)^к + ... ажыралышын колдонуп, берилген интегралды эсептейбиз

Жыйналуу аймагы аралыгы болгон даражалуу катар сыяктуу эсептейбиз.

25