Арифметическая и геометрическая прогрессии

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Учитель математики МБОУ «СОШ № 4

Романенко Ольга Семеновна

Девиз урока:

« Прогрессио – движение вперед »

Умение решать задачи – практическое искусство, подобное плаванию или катанию на лыжах, или игре на фортепиано: научиться этому можно лишь подражая избранным образцам и постоянно тренируясь.

Д.Пойа. (венгерский и швейцарский математик 1887-1985 гг.)

Цель урока: систематизировать знания по теме арифметическая и геометрическая прогрессии

Задачи урока:

1 . Отработать применение формул при решении различных задач.

2. Увидеть связь между математикой и окружающей жизнью

3. Формирование общекультурных компетенций.

• Соответствие формул и названий.
• Арифметическая прогрессия.

Определение арифметической прогрессии

Определение арифметической прогрессии

Формула n-го члена арифметической прогрессии

Формула n-го члена арифметической прогрессии

=

Свойство каждого члена арифметической прогрессии

Свойство каждого члена арифметической прогрессии

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Формула разности арифметической прогрессии

Формула разности арифметической прогрессии

d

Геометрическая прогрессия

Определение геометрической прогрессии

Определение геометрической прогрессии

Формула n-го члена геометрической прогрессии

Формула n-го члена геометрической прогрессии

Свойство каждого члена геометрической прогрессии

Свойство каждого члена геометрической прогрессии

=

Сумма первых n членов геометрической прогрессии

Сумма первых n членов геометрической прогрессии

Формула знаменателя геометрической прогрессии

Формула знаменателя геометрической прогрессии

q =

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки.

На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 100.

Длина змейки, изображенной на рисунке, составляет 10 + 10 + 9 + 9 + 8 + ... + 3 + 2 + 2 + 1 + 1 и представляет арифметическую прогрессию, члены которой учтены два раза, первый член 

a 1 =1, последний член a 10 = 10, а разность d = 1.

- формула суммы n-первых членов арифметической прогрессии

S n =

«Змейка»

1 вар. Ответ: 1640  

2 вар. Ответ: 2550  

Вариант-2

Вариант-1

1) с 21 = с 1 + 20d = 1,5 - 5 = -3,5

1) а 11 = а 1 + 10d = 2,5 - 15 = -12,5

2) а 26 = а 1 +25d

2) b 26 = b 1 +25d

3) c 6 = c 1 · q 5 = 6 · 32 = 192

3) а 7 = а 1· q 6 = 5 · 2 6 = 5 · 64 = 320

4) Ответ: 325  

4) Ответ: 648  

5) Ответ: 7   

5) Ответ: -31  

Оцените свою работу на уроке:

10 – 11 баллов – «5»

8 – 9 баллов – «4»

6 – 7 баллов – «3»

Прогрессии

в природе

Все организмы обладают интенсивностью

размножения в геометрической прогрессии

ИНФУЗОРИИ…

Летом инфузории размножаются бесполым способом делением пополам.

Вопрос: сколько будет инфузорий после 15-го размножения ?

Решение: последовательность чисел

1, 2, 4, 8…; q = = 2;

= = = 32 767

бактерии…

Способность к размножению у бактерий настолько велика, что если бы они не гибли от разных причин, а беспрерывно размножались, то за трое суток общая масса потомства одной только бактерии могла бы составить 7500 тонн. Таким громадным количеством бактерий можно было бы заполнить около 375 железнодорожных вагонов.

Домашнее задание:

П. 16-17 формулы, №17.51, 16.64, 16.66

Спасибо за урок!

Это задача из «Сборника старинных занимательных задач по математике» Игнатьева Е.И.

Однажды богач заключил выгодную, как ему казалось, сделку с человеком, который целый месяц ежедневно должен был приносить по 100 тыс. руб., а взамен в первый день месяца богач должен был отдать 1 коп., во второй-2 коп., в третий-4 коп., в четвертый-8 коп. и т. д. в течении 30 дней. Сколько денег получил богач и сколько отдал? Кто выиграл от этой сделки?

Решение: Считают “мужик” и “купец”

“ Мужик” заплатил: S 30 = 100 000• 30 = 3 000 000 (рублей).

“ Купец” заплатил: 1; 2; 4;… q=2/1=2.

S 30 =1• (2 30 – 1):(2-1)= 2 30 -1= =1 073 741 824 -1 =1 073 741 823 (коп.) т.е. 10 738 418 руб.23коп

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

Прогрессии как частные виды последовательностей

встречаются в древних египетских папирусах и в клинописных табличках вавилонян.

- 5 век до н.э. – древние греки знают формулы суммы натуральных и четных натуральных последовательных чисел.

- 5 век н.э. – в Китае и Индии ученые знают формулу n-ого члена и суммы n первых членов арифметической прогрессии.

- Упоминание о геометрической прогрессии в легенде об изобретателе шахмат.

«Индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахматной игры, своего подданного Сету, чтобы наградить его за остроумную выдумку. Сета, издеваясь над царём, потребовал за первую клетку шахматной доски 1 пшеничное зерно, за вторую – 2 зерна, за третью – 4 и т.д. оказалось, что царь не был в состоянии выполнить это «скромное» желание Сеты».

В этой задачи речь идёт о суммировании геометрической прогрессии 1, 2, 2 2 , 2 3 , … 2 63 . Её сумма равна: 2 64 -1=18 446 744 073 709 551 615.

Такое количество зёрен пшеницы можно собрать лишь с урожая планеты, поверхность которой примерно в 2000 раз больше поверхности Земли.

Последовательность Фибоначчи

У европейцев правило для нахождения суммы членов любой арифметической прогрессии встречается впервые в сочинении Леонардо Пизанского «Книга об абаке» (1202 г.)

Леонардо Пизанский

(Фибоначчи)