Арифметическая и геометрическая прогрессия

Арифметическая и геометрическая прогрессии в окружающем мире

• Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. Это число называется разностью арифметической прогрессии. Каждая арифметическая прогрессия имеет вид: a, a + d, a + 2d, a + 3d, ... и обозначается знаком: ÷

История возникновений прогрессий

• Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и др.
• На связь между прогрессиями первым обратил внимание великий Архимед. (ок. 287 – 212 гг. до н.э.).
• Термин «прогрессия» был введён римским автором Боэцием (в 6 веке) и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Название «арифметическая» и «геометрическая» были перенесены из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.

История возникновения Арифметической прогресии

• Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим учёным Диофантом (в 3 веке).
• Правило нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в сочинении «Книга абака» в 1202г. (Леонардо Пизанский).
• В XVIII веке в английских учебниках появились обозначения арифметической и геометрической прогрессии

История возникновения геометрической прогрессии

Примеры взаимодействия с прогрессиями в окружающем мире

• Прогрессия в природе: сложные организмы

Все клетки в сложных живых организмах, в том числе и у человека, делятся в геометрической прогрессии, что позволяет организмам быстро обновлять отмирающие клетки, а человеку – долго не стареть.

• Прогрессия в природе: простейшие организмы

Бактерии размножаются делением: одна бактерия делится на две, каждая из этих двух в свою очередь тоже делится на две и так далее

• Прогрессии в банковских расчетах

В конце срока хранения сумма банковского вклада возрастает в несколько раз, так как она растёт в геометрической прогрессии.

• Прогрессия в медицине

Больной может принимать лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий.

• Прогрессия в литературе

Ямб - это стихотворный размер с ударением на четных слогах 2; 4; 6; 8... Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2.

• Прогрессия в строительстве

Возведение многоэтажного здания — пример арифметической прогрессии. Каждый раз высота здания увеличивается на 3 метра.

Задача 1:

• « При хранении бревен строевого леса их укладывают, как показано на рисунке. Сколько брёвен находится в одной кладке, если в ее основании положено 12 бревен?
• Дано: 1, 2, 3, 4,…,12. Это арифметическая прогрессия, а1=1, d=1,аn=12. Надо   найти  n .
• Решение: а n = a 1+ d ( n -1); 12=1+1( n -1);  n =12.  Sn =( a 1+ an )∙ n :2;  Sn =(1+12)·12:2;  Sn =78.
• В одной кладке находится 78 бревен.
• Ответ: 78 бревен.

0 Решение: Sn= (2a1+ d (n-1))n:2; 525= (2·30+ 5 (n-1))n:2; 1050= (60+ 5 (n-1))n; 1050= 55 n + 5n2; n2 +11 n -210=0, n1=-21, n2=10 (n0).  Улика достигнет вершины за 10 дней. Ответ: 10. " width="640"

Задача 2:

• «Улитка ползет по дереву. За первую минуту она проползла 30 см, а за каждую следующую минуту — на 5 см больше, чем за предыдущую. За какое время достигнет улитка вершины дерева длиной 5,25 м, если считать, что движение начато от его основания?»
• Дано: a1 =30, d=5, Sn= 525, n0
• Решение: Sn= (2a1+ d (n-1))n:2; 525= (2·30+ 5 (n-1))n:2; 1050= (60+ 5 (n-1))n; 1050= 55 n + 5n2; n2 +11 n -210=0, n1=-21, n2=10 (n0).  Улика достигнет вершины за 10 дней.
• Ответ: 10.

Задача 3:

• Высота саженца 60 см, первые полгода она увеличивается ежемесячно в среднем на 4 см. каким будет высота саженца через 6 месяцев?
• Дано: а1=60, d=4
• Решение: 6= а1+5d,  а6= 60+5·4= 60+20=80(см)
• Ответ: 80 см