В честь окончания учебного года! Скидки до 50% на готовые материалы для учителей на каждый урок

СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Выбрать материалы

Скидки до 50 % на комплекты
только до 18.06.2025

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Была в сети 25.04.2025 10:03

Паршина Ирина Андреевна

Учитель математики

32 года

1 949

31 370

Подписчики

Подписки

Местоположение

Россия,

Обо мне Блог Файлы Тесты Галерея Активность Награды

Арифметическая прогрессия

Категория: Математика

19.06.2018 22:57

Понятие последовательности. Арифметическая прогрессия. Решение задач.

Просмотр содержимого документа
«Арифметическая прогрессия»

Арифметическая прогрессия

Содержание

Числовые последовательности (основные понятия)
Арифметическая прогрессия
Задачи

Числовые последовательности

Если каждому натуральному числу n поставить в соответствие действительное число a n , то говорят, что задана числовая последовательность :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Числовая последовательность — функция натурального аргумента.
Число a 1 называют первым членом последовательности , число a 2 — вторым членом последовательности , число a 3 — третьим и так далее. Число a n называют n-м членом последовательности , а натуральное число n — его номером .
Из двух соседних членов a n и a n+1 последовательности член a n+1 называют последующим (по отношению к a n ), а a n — предыдущим (по отношению к a n+1 ).
Чтобы задать последовательность, нужно указать способ, позволяющий найти член последовательности с любым номером.

Числовые последовательности

Часто последовательность задают с помощью формулы n-го члена , то есть формулы, которая позволяет определить член последовательности по его номеру.
Например:
последовательность положительных нечётных чисел можно задать формулой

a n = 2 n – 1 ,

а последовательность чередующихся 1 и –1 — формулой

b n = (–1) n +1 .

Числовые последовательности

Последовательность можно определить рекуррентной формулой , то есть формулой, которая выражает любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько) члены.
Например:
Если a 1 = 1, а a n+1 = a n + 5, то первые пять членов последовательности находим следующим образом:
a 1 = 1,
a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Если а 1 = 1, а 2 = 1,

a n+2 = a n + a n+1 ,

то первые семь членов числовой последовательности устанавливаем следующим образом:

a 1 = 1,
a 2 = 1,
a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,
a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,
a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,
a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,
a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13.

Числовые последовательности

Последовательности могут быть конечными и бесконечными .
Последовательность называется конечной , если она имеет конечное число членов. Последовательность называется бесконечной , если она имеет бесконечно много членов.
Например:
Последовательность двузначных натуральных чисел:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

конечная.

Последовательность простых чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

бесконечная.

Числовые последовательности

Последовательность называют возрастающей , если каждый её член, начиная со второго, больше чем предыдущий.
Последовательность называют убывающей , если каждый её член, начиная со второго, меньше чем предыдущий.
Например:
2, 4, 6, 8, . . . , 2 n , . . . — возрастающая последовательность;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 / n , . . . — убывающая последовательность.

Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, к которому прибавляется одно и то же число.
Иначе, a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . является арифметической прогрессией, если для любого натурального числа n выполняется условие:

a n+1 = a n + d ,

где d — некоторое число.

Таким образом, разность между последующим и предыдущим членами данной арифметической прогрессии всегда постоянна:

а 2 – a 1 = а 3 – a 2 = . . . = a n+1 – a n = d .

Число d называют разностью арифметической прогрессии.

Арифметическая прогрессия

Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать её первый член и разность.
Например,
если a 1 = 3, d = 4, то первые пять членов последовательности находим следующим образом:
a 1 =3,
a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,
a 3 = a 2 + d = 7 + 4 = 11,
a 4 = a 3 + d = 11 + 4 = 15,
a 5 = a 4 + d = 15 + 4 = 19.

Арифметическая прогрессия

Для арифметической прогрессии с первым членом a 1 и разностью d её n -й член может быть найден по формуле:

a n = a 1 + ( n – 1) d.

Например,
найдём тридцатый член арифметической прогрессии
1, 4, 7, 10, . . .
Имеем,
a 1 = 1, d = 4-1 = 3,
a 30 = a 1 + (30 – 1) d = 1 + 29 · 3 = 88.

Арифметическая прогрессия

Так как

a n–1 = a 1 + ( n – 2) d,

a n = a 1 + ( n – 1) d,

a n+1 = a 1 + nd,

то, очевидно,

a n = ( a n–1 + a n+1 )/2

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.
Числа a, b и c являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии тогда и только тогда, когда одно из них равно среднему арифметическому двух других.

Арифметическая прогрессия

Например:
докажем, что последовательность, которая задаётся формулой a n = 2 n – 7, является арифметической прогрессией.
Воспользуемся приведённым выше утверждением. Имеем:
a n = 2 n – 7,
a n–1 = 2( n – 1) – 7 = 2 n – 9,
a n+1 = 2( n + 1) – 7 = 2 n – 5.

Следовательно,

(a n+1 + a n–1 )/2 = (2n – 5 + 2n – 9)/2 = (4n – 14)= 2n – 7= a n , что и доказывает нужное утверждение.

Арифметическая прогрессия

Отметим, что n -й член арифметической прогрессии можно найти не толь через a 1 , но и любой предыдущий a k , для чего достаточно воспользоваться формулой

a n = a k + ( n – k ) d.

Например:
для a 5 можно записать
a 5 = a 1 + 4 d ,
a 5 = a 2 + 3 d ,
a 5 = a 3 + 2 d ,
a 5 = a 4 + d .

Арифметическая прогрессия

Сумма S n = a 1 + a 2 + a 3 + . . .+a n ,

первых n членов арифметической прогрессии равна произведению полусуммы крайних слагаемых на число слагаемых:

0, то она является возрастающей; если d если d = 0, то последовательность будет стационарной. " width="640"

Арифметическая прогрессия

Если дана арифметическая прогрессия, то величины a 1 , a n , d , n и S n связаны двумя формулами:
a n = a 1 + ( n – 1) d

Поэтому, если значения трёх из этих величин даны, то соответствующие им значения двух остальных величин определяются из этих формул, объединённых в систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. При этом:
если d 0, то она является возрастающей;
если d
если d = 0, то последовательность будет стационарной.

Задача 1

Доказать, что последовательность, заданная формулой an = 5 + 4n, является арифметической.
РЕШЕНИЕ: Чтобы доказать, что последовательность является арифметической, достаточно получить следующий член этой последовательности и найти разность.
an+1 = 5 + 4(n + 1) = 5 + 4n + 4 = 9 + 4n
d = an+1 - an = 9 + 4n - (5 + 4n) = 9 + 4n - 5 - 4n = 4
Поскольку разность является числом, значит она будет одинакова для всех членов данной последовательности. Поэтому последовательность является арифметической прогрессией.

Задача 2

Найти 20 член арифметической прогрессии и сумму первых десяти членов, если a1 = -18 и d = 5
РЕШЕНИЕ:
a20 = a1 + d ⋅ 19 = –18 + 5 ⋅ 19 = 77
S10 = (2 ⋅ (–18) + 5 ⋅ 9) ⋅ 10 / 2 = 45

ОТВЕТ: 77 и 45

Задача 3

Число 85 является членом арифметической прогрессии 8, 15, 22, 29, ... . Найти номер этого члена.
РЕШЕНИЕ: Пусть n - номер, который нужно найти. a1 = 8, d = a2 - a1 = 15 - 8 = 7

Применив формулу для вычисления n-ого члена арифметической прогрессии, можно получить n:

8 + 7 ⋅ (n - 1) = 85

7∙n+1= 85,

7 ⋅ n = 84

n = 12

ОТВЕТ: 12

Задача 4

В арифметической прогрессии a8 = 22 и a14 = 34. Найти формулу для n-ого члена.
РЕШЕНИЕ: Применив формулу для вычисления n-ого члена арифметической прогрессии по первому члену и разности находим: a8 = a1 + d ⋅ 7, a14 = a1 + d ⋅ 13

Подставив в эти выражения a8 и a14 получаем систему уравнений: a1 + 7d = 22, a1 + 13d = 34 Вычитая из первого уравнения второе, можно вычислить d: –6d = –12; d = 2 Подставляем d в первое уравнение для получения a1: a1 + 14 = 22; a1 = 8

Таким образом, формула для n-ого члена арифметической прогрессии выглядит так:

an = 8 + 2 ⋅ (n - 1) = 8 + 2n - 2 = 6 + 2n

ОТВЕТ: an = 6 + 2n

Задача 5

Найти количество членов арифметической прогрессии 1, 3, 5, 7, ... , если их сумма равна 81.
РЕШЕНИЕ: Из заданной арифметической прогрессии получаем a1 и d:

a1 = 1, d = 3 - 1 = 2

И подставляем известные данные в формулу суммы:

(2 ⋅ 1 + 2 ⋅ (n - 1)) ⋅ n / 2 = 81

(2 + 2n - 2) ⋅ n = 81 ⋅ 2

2n² = 162

n² = 81

n = 9

ОТВЕТ: 9