Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Группы

Дата проведения урока

Этапы урока

Методы обучения

I.Организационный момент

Учитель приветствует детей.

Кундалик.

Учебник алгебры 9 класс, доска мел,мультимедиа

II.Актуализация знаний.

Слайд 1, 2

Компьютерное тестирование

- Мы продолжаем изучение геометрической прогрессии. Вспомним, какая последовательность называется геометрической прогрессией? Выполните тест.

Отметки по желанию учащихся выставляются в журнал.

Ученики на компьютерах выполняют тест.

Анализ ответов. Ответы к тесту выводятся на экран.

Кундалик.

Учебник алгебры 9 класс, доска мел,мультимедиа

III.Стадия вызова

Прием «Корзина

идей»

Постановка цели урока

Слайд 3

Макет корзины. Слайд 4

Слайд 5

вопросно-ответная форма, диспут

Слайд 6

- Зная формулы геометрической прогрессии, мы умеем решать интересные задачи литературного, исторического и практического содержания на прогрессию. Решите еще одну задачу про героя троянской войны Ахиллеса: «Ахиллес бежит со скоростью в 10 раз быстрее, чем черепаха и изначально находится на расстоянии 1000 шагов от нее. Какое общее расстояние, пройденное Ахиллесом до встречи с черепахой?»

- Обсудите в парах и составьте план решения задачи. Все идеи «сбрасываем в корзину»

Все мнения, выражения записываются учителем или учениками в «корзине» идей на доске (без комментариев), даже если они ошибочны. Основное условие – не повторять то, что уже было сказано другими.

- Попробуем систематизировать полученную информацию.

- Таким образом, получаем последовательность

1000, 100, 10, 1, 0,1, 0,01…

- Что можете сказать о данной последовательности?

- Конечной или бесконечной? Убывающей или возрастающей? Какой знаменатель прогрессии?

- Как вычислить общее расстояние, пройденное Ахиллесом до встречи с черепахой?

- Вычислите сумму по известным формулам геометрической прогрессии.

- На какие вопросы хотели бы получить ответы?

- Как назовем тему сегодняшнего урока?

- Открываем тетради, пишем тему урока.

Учитель конкретизирует цели урока, обращает внимание на «идеи в корзине» и вместе с учащимися обсуждают, какие идеи ошибочны, какие ближе к ответу, какие необходимо еще уточнить. Исправляются ошибки.

Учащиеся обсуждают решение в парах.

Выражения записываются учениками на доске.

- Когда Ахиллес пробежит 1000 шагов, черепаха проползет в 10 раз меньше, то есть 100 шагов. Расстояние между Ахиллесом и черепахой будет 100 шагов.

Тогда Ахиллес пробежит 100 шагов, а черепаха проползет 10 шагов. После этого между Ахиллесом и черепахой будет расстояние в 10 шагов.

Когда Ахиллес пройдет 10 шагов, черепаха проползет 1 шаг.

Когда Ахиллес пройдет 1 шаг, черепаха проползет еще 0, 1 шага и все равно будет дальше него. Так можно продолжать до бесконечности.

- Последовательность является геометрической прогрессией.

- Бесконечно убывающая. Знаменатель .

- Сложить числа

1000+100+10+1+ + + +…

- Невозможно. Членов прогрессии бесконечно.

- Как определить, является геометрическая прогрессия убывающей?

- Как вычислить сумму, если геометрическая прогрессия убывающая и бесконечная?

- Сумма бесконечно убывающей прогрессии.

Дети записывают тему.

Доска, мел, раздаточный материал, схемы, таблицы

IV.Стадия осмысления

Первичное закрепление

Каждая группа работает с учебником и дополнительным материалом на компьютере.

Слайд 7

Слайд 8

Слайд 9

- Найдем сумму разными способами. Первая группа вычисляет сумму первым способом, вторая – вторым, третья – третьим способом. IV группа выводит формулу суммы, используя материал учебника. Для этого в группе разбираете указанный выше способ нахождения суммы и применяете для нашей последовательности.

- Командиры с помощью членов группы представляют свое решение.

- Какое общее расстояние, пройденное Ахиллесом до встречи с черепахой?

- Какой вывод можно сделать из этих решений?

- Какое условие должно выполняться, чтобы геометрическая прогрессия была бесконечно убывающей?

- Что для этого необходимо знать?

- Решите задачу: «Один из учеников, вызванный к доске, должен идти от стола к двери по прямой. Первый шаг он делает длиной 1метр, второй -1/2 м., третий 1/4 м и т. д. так, что длина следующего шага в 2 раза меньше длины предыдущего. Дойдет ли ученик до двери, если расстояние от стола до двери по прямой 3 метра?»

- Вернемся к задаче про Ахиллеса и черепаху. Расстояние, которое потребуется преодолеть Ахиллесу, чтобы догнать черепаху, равно

- Все согласны с таким ответом: быстрый Ахиллес догонит медлительную черепаху.

- Всем известно, что такое софизмы. Очень интересны математические софизмы древнегреческих философов-математиков.

Разгадать один из самых известных софизмов древнегреческого философа Зенона — парадокс Ахиллеса и черепахи, будет вашим домашним заданием.

Класс делится на 4 группы. Находят сумму различными способами. Каждая группа свое решение оформляет в тетради.

Для презентации работы используют документ-камеру, доску.

Последней выступает группа, вычисляющая сумму по формуле суммы геометрической прогрессии.

- S=1000+100+10+1+0,1+…=

1111 .

Расстояние, которое потребуется преодолеть Ахиллесу, чтобы догнать черепаху, равно

1111 и одна девятая шага (0,111…= .

- Мы нашли сумму бесконечной прогрессии.

- Даже бесконечное количество слагаемых в сумме может давать конечную величину, если пренебречь малой величиной

- Первый член прогрессии и знаменатель.

S=

Дети формулу записывают в тетрадях.

Индивидуальная работа.

Решение.

1, 1/2, 1/4, 1/8, …

S=

S= =2

Ответ: нет.

- 1111 и одна девятая шага (0,111…= 1/9).

- Да. Ахиллес догонит черепаху и обгонит ее.

Учебник алгебры 9 класс, доска мел,мультимедиа

V.Стадия рефлексии.

Заключительный этап

- Предлагаю каждому составить рассказ (не более 5 предложений) по теме: «Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии». Работа по вариантам.

Учитель просит озвучить несколько рассказов и обсудить: если мама с папой прочитают такой рассказ, все ли им будет понятно?

- Подведем итоги.

- Что нового узнали на уроке?

- Цели урока выполнены?

- Что интересного было на уроке?

- Что вызвало затруднение? Какие вопросы вы бы задали по этому поводу?

- Не осталось ли в корзине идей?

- Оценки.

Учащиеся 1 варианта пишут от своего имени своим родителям;

учащиеся 2 варианта пишут от своего имени одноклассникам.

Пример рассказа: «Мама и папа! Сегодня на уроке по теме "Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии " я узнал, что сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии конечное число. Узнал, что в математике бесконечно малой величиной можно пренебречь. Чтобы вычислить сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии я должен знать формулу, первый член прогрессии и знаменатель. Меня заинтересовали софизмы».

Учебник алгебры 9 класс, доска мел,мультимедиа

VI. Домашнее задание

Слайд 10

- Разгадать парадокс Ахиллеса и черепахи.

- Почему данная задача древним представлялась неразрешимою?

- Какую роль играют математические софизмы?