Билеты по геометрии 8 класс

Билет № 1.

1. Смежные и вертикальные углы и их свойства.

2. Периметр равнобедренного треугольника равен 12 см, боковая сторона равна 5 см. Основание равно…

3. В треугольнике АВС угол С равен 90⁰, СН – высота, АВ=16, sin А =

Найдите АН.

4. К окружности с центром в точке проведены касательная и секущая . Найдите радиус окружности, если см, см.

5. Укажите номера верных утверждений.

1) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.

2) Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.

3) Если в ромбе один из углов равен , то такой ромб  — квадрат.

Билет № 2.

1.Определение треугольника. Признаки равенства треугольников.

2. Найдите тангенс угла , изображенного на рисунке.

3.В равнобедренном треугольнике с основанием внешний угол при вершине равен . Найдите величину угла . Ответ дайте в градусах.

4. В четырехугольнике АВСD 1 = 2, 3 = 4. ВD = 5 см. Периметр четырехугольника равен 32 см. Тогда периметр треугольника АВD равен…

5. Какие из следующих утверждений верны?

1) Через любые три точки проходит не более одной прямой.

2) Через любые две точки проходит ровно одна прямая.

3) Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние односторонние углы равны.

Билет № 3.

1.Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Определение и умение построения. Основное свойство.

2.Найдите величину угла 1.

3.Сторона AC треугольника ABC проходит через центр окружности. Найдите ∠C, если ∠A=30∘. Ответ дайте в градусах.

4.Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке.

5. Укажите номера верных утверждений.

1)В тупоугольном треугольнике все углы тупые.

2)В любом параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам.

3)Точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка.

Билет №4.

1.Равнобедренный треугольник: определение и свойства.

2.Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке.

3. Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 6

4.Лестницу длиной 2 м прислонили к дереву. На какой высоте (в метрах) находится верхний её конец, если нижний конец отстоит от ствола дерева на 1,2 м?

5.Укажите номера верных утверждений.

1)Диагонали любого прямоугольника равны.

2)Если в треугольнике есть один острый угол, то этот треугольник остроугольный.

3)Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла.

Билет № 5

1.Определение и признаки параллельности прямых.

2. Сторона ромба равна 8, а расстояние от центра ромба до неё равно 2. Найдите площадь ромба.

4. Найдите тангенс угла AOB.

5.Какие из данных утверждений неверны?

1)Вокруг любого треугольника можно описать окружность.

2)Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм — квадрат.

3)Если углы равны, то они вертикальные.

Билет № 6

1.Параллельные прямые и их свойства.

2. Касательные к окружности с центром O  в точках A  и B  пересекаются под углом 76⁰. Найдите угол ABO .

3.В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании. Найдите большее основание.

4.Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке.

5.Какие из данных утверждений неверны?

1)Если угол меньше 90⁰, то смежный с ним угол также меньше 90⁰.

2)Если два угла треугольника острые, то третий угол этого треугольника тупой.

3)Если две прямые пересечены третьей прямой и накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.

Билет № 7

1.Свойства углов, образованных параллельными прямыми и секущей.

2.В треугольнике ABC   AB=BC=53 , AC=56 . Найдите длину медианы BM .

3. Точка О — центр окружности, ∠BOC=160°. Найдите величину угла BAC .

4. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке. 5.Какие из данных утверждений верны?

1) В треугольнике против меньшего угла лежит меньшая сторона.

2) Смежные углы равны 180⁰.

3)Вокруг тупоугольного треугольника можно описать окружность.

1.Прямоугольный треугольник: определение, компоненты, свойства углов и сторон.

2. Прямые m  и n  параллельны. Найдите ∠3 , если ∠1=6⁰ , ∠2=101⁰ .

3.Отрезок AB=32  касается окружности радиуса 24 с центром O  в точке B . Окружность пересекает отрезок AO  в точке D. Найдите AD.

4.Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 16.

5.Какие из данных утверждений верны?

1) Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 180⁰.

2) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3) Центр окружности, вписанной в любой треугольник, является точкой пересечения биссектрис

Билет № 9

1.Параллелограмм: определение, свойства углов, сторон, диагоналей.

2. Найдите тангенс угла AOB.

3. Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины C, делит основание AD  на отрезки длиной 2 и 9. Найдите длину основания BC .

4.В угол C  величиной 78⁰ вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A  и B . Найдите угол AOB .

5.Какие из данных утверждений верны?

1)Если в выпуклом четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

2)Если два угла имеют общую сторону, то они смежные.

3)Отрезок, соединяющий две точки окружности, является её радиусом.

Билет № 10

1. Параллелограмм: определение и признаки.

2. Сторона AC  треугольника ABC  проходит через центр окружности. Найдите ∠C , если ∠A=81⁰.

3. В треугольнике ABC угол C прямой, BC=6 , sinA=0,6 . Найдите AB.

4.Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 15, а основание равно 18. Найдите площадь этого треугольника.

5.Какие из данных утверждений верны?

1)Диагонали прямоугольника делят его углы пополам.

2) Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

3) Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30⁰,равен половине гипотенузы.

Билет № 11.

1.Прямоугольник: определение, свойства сторон и диагоналей, признаки.

2.В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 4, а острый угол, прилежащий к нему, равен 45∘ . Найдите площадь треугольника.

3.Найдите величину острого угла параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 41∘.

4. К окружности с центром в точке O  проведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если AB=21, AO=75.

5.Какие из данных утверждений верны?

1) Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

2)В тупоугольный треугольник вписать окружность нельзя.

3) Вписанный угол измеряется величиной дуги, на которую он опирается.

Билет № 12.

1.Квадрат: определение, свойства диагоналей, признаки.

2. Прямая касается окружности в точке K. Точка O – центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 70⁰. Найдите величину угла OMK.

3.В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 7, а острый угол, прилежащий к нему, равен 45∘ . Найдите площадь треугольника.

4.Сторона ромба равна 36, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?

5.Какие из данных утверждений неверны?

1)Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

2) Медиана треугольника делит его на два равных треугольника.

3)В прямоугольном треугольнике отношение катета к гипотенузе равно синусу противолежащего угла.

Билет № 13.

1.Ромб: определение, свойства углов и диагоналей, признаки.

2.Найдите величину угла DOK, если OK — биссектриса угла AOD, ∠DOB=108°.

3.В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 35, а угол, лежащий напротив него равен 45∘ . Найдите площадь треугольника.

4.На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=73∘. Найдите угол NMB.

5.Какие из данных утверждений неверны?

1) В любой ромб можно вписать окружность.

2) Сумма противоположных углов параллелограмма равна 180⁰.

3)Площадь прямоугольного треугольника равна произведению его катетов.

Билет № 14.

1.Трапеция: определение, виды. Свойство углов и диагоналей равнобедренной трапеции.

2.На прямой AB  взята точка M . Луч MD  – биссектриса угла CMB . Известно, что ∠DMC=31∘ . Найдите угол CMA .

3.В окружности с центром в точке O проведены диаметры AD и BC, угол OAB равен 70°. Найдите величину угла OCD.

4.Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке.

5.Какие из данных утверждений верны?

1)Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

2)Вертикальные углы равны.

3)Если две прямые параллельны третьей прямой, то они перпендикулярны.

Билет № 15.

1. Прямоугольный треугольник и его элементы. Теорема Пифагора и обратная ей теорема.

2.Прямые m  и n  параллельны. Найдите ∠3 , если ∠1=24∘ , ∠2=90∘ . Ответ дайте в градусах.

3.В треугольнике ABC AB=BC, а высота AH делит сторону BC на отрезки BH=48 и CH=2. Найдите cos∠B.

4.Периметр квадрата равен 36. Найдите площадь квадрата.

5.Какие из данных утверждений верны?

1)Центром любой окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.

2)Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3)Произведения отрезков двух пересекающихся хорд равны.

Билет № 16.

1.Признаки подобия треугольников.

2.Боковая сторона трапеции равна 3, а один из прилегающих к ней углов равен 30°. Найдите площадь трапеции, если её основания равны 2 и 6.

3.На прямой AB  взята точка M . Луч MD  – биссектриса угла CMB . Известно, что ∠DMC=48⁰ . Найдите угол CMA .

4.В треугольнике ABC   AB=BC=37, AC=24 . Найдите длину медианы BM .

5.Какие из данных утверждений верны?

1)Медиана равнобедренного треугольника является его биссектрисой и высотой.

2) Если в треугольнике все углы равны по 60⁰, то этот треугольник равносторонний.

3) Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Билет № 17.

1.Средняя линия треугольника: определение и свойства. Теорема о точке пересечения медиан треугольника.

2.Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке.

3.В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол ABO равен 55°. Найдите величину угла ODC.

4.В треугольнике ABC   AB=BC=85, AC=102 . Найдите длину медианы BM .

5.Какие из данных утверждений неверны?

1) Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является его высотой и биссектрисой.

2)Параллелограмм, у которого все стороны равны, является квадратом.

3)Площадь треугольника равна произведению сторон на синус угла между ними.

Билет № 18.

1.Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30⁰, 45⁰, 60⁰.

2.Точка О – центр окружности, ∠AOB=130° (см. рисунок). Найдите величину угла ACB.

3.Диагональ прямоугольника образует угол 44⁰ с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника.

4.Из квадрата вырезали прямоугольник (см. рисунок). Найдите площадь получившейся фигуры.

5.Какие из данных утверждений неверны?

1)В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

2)Вокруг любой равнобедренной трапеции можно описать окружность.

3)Треугольник со сторонами 3, 4 и 6 является прямоугольным

Билет № 19.

1.Касательная к окружности: определение, свойства и признак.

2.Боковая сторона трапеции равна 4, а один из прилегающих к ней углов равен 30°. Найдите площадь трапеции, если её основания равны 2 и 5.

3.Сторона ромба равна 26, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?

4.Отрезок AB=33  касается окружности радиуса 56 с центром O в точке B. Окружность пересекает отрезок AO в точке D. Найдите AD.

5. Какие из данных утверждений неверны?

1)В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

2)Площадь прямоугольника равна произведению двух его сторон.

3)Если в прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны, то этот прямоугольник – квадрат.

Билет № 20.

1.Вписанный угол: определение, свойства.

2.Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Найдите градусную меру угла C треугольника ABC, если угол AOB равен 152⁰.

3.Найдите тангенс угла AOB, изображённого на рисунке.

4.Площадь ромба равна 18, а периметр равен 36. Найдите высоту ромба.

5. Какие из данных утверждений верны?

1) Если три угла одного треугольника соответственно равны трём углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

2)В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.

3)У равностороннего треугольника есть центр симметрии.

Билет № 21.

1.Свойства биссектрисы угла треугольника.

2. Сторона ромба равна 16, а расстояние от центра ромба до неё

равно 5. Найдите площадь ромба.

3.Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Найдите градусную меру угла C треугольника ABC, если угол AOB равен 63⁰.

4.Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и  BD пересекаются в точке M . Найдите MC , если AB=18 , DC=54 , AC=48

5.Укажите номера верных утверждений.

1)Медиана равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, перпендикулярна основанию.

2)Диагонали любого прямоугольника делят его на 4 равных треугольника.

3)Для точки, лежащей внутри круга, расстояние до центра круга меньше его радиуса.

Билет № 22.

1.Вписанная окружность: определение, теорема, условие существования.

2.На прямой AB взята точка M . Луч MD – биссектриса угла CMB . Известно, что ∠DMC=64⁰ . Найдите угол CMA .

3.AC и BD – диаметры окружности с центром O . Угол ACB равен 23∘ . Найдите угол AOD .

4.Высота BH ромба ABCD делит его сторону AD на отрезки AH=24 и HD=2. Найдите площадь ромба.

5.Какие из данных утверждений верны?

1)Если при пересечении двух прямых третьей прямой накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

2)Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.

3)Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его смежных сторон.

Билет № 23.

1.Описанная окружность: определение, теорема, условие существования.

2.У треугольника со сторонами 2 и 10 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 5. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?

3.Касательные к окружности с центром O в точках A и B пересекаются под углом 88⁰. Найдите угол ABO.

4.Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 50° и 85°. Найдите меньший угол параллелограмма.

5.Укажите номера верных утверждений.

1)Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

2)Вертикальные углы равны.

3)Любая биссектриса равнобедренного треугольника является его медианой.

Билет № 24.

1.Площадь плоской фигуры: формулы для вычисления площади треугольника, параллелограмма, прямоугольника, квадрата, ромба, трапеции. Теорема об отношении площадей подобных фигур.

2.Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке.

3.Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Найдите градусную меру угла C треугольника ABC, если угол AOB равен 115⁰.

4.Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины C, делит основание AD на отрезки длиной 1 и 19. Найдите длину основания BC.

5.Какие из данных утверждений верны?

1)На плоскости существует единственная точка, равноудалённая от концов отрезка.

2)Центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения его биссектрис.3)Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.