БЛОК №4. Параллельные прямые.

Б ЛОК №4 п.п. 24, 25,26,27,28,29

а параллельные прямые

в с а || в

1 2 а накрест лежащие углы: _{ }3 и _{   }6.

4 3 односторонние углы: _{ } и _{   }6.

5 6 в соответственные углы: _{ } и _{   }6;

8 7 _{ } и _{   }.

Теоремы (Признаки параллельности двух прямых)

I а II 1 а III а

1 1

2 в 2 в 2 в _{ }

c c c

Аксиома параллельных прямых

в М в–единственная прямая, проходящая через (·)М и ||а

а

Следствия: 2) а

1. а в

в с

с

Если с_{ }

Теорема Обратная теорема

УСЛОВИЕ

(дано)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

(доказать)

Теоремы, обратные признакам параллельности двух прямых

С ледствия I Т.

а Если с_{ }а и а_{ }в, то с_{ }в.

с в

О пределение 1. Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Определение 2. Прямая с называется секущей по отношению к прямым а и в, если она пересекает их в двух точках.

Т. (I признак параллельности двух прямых)

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. с

а Н А Дано: с_{ }а, с_{ }в, _{ }и _{ }-накрест

5 1 лежащие углы, _{ }

О 3 Док-ть: а || в.

4 Док-во: Пусть О-середина АВ.

в В 2 6 Н₁ Построим ОН_{ }а. На прямой в от

(·) В отложим отрезок ВН₁=АН. Рассмотрим _{ }АОН и _{ }ВОН₁:

А О=ВО по построению _{ }АОН = _{ }ВОН₁

АН=ВН₁ по построению (по I признаку равенства _{ }-в)

_{ } по условию Т.к. _{ }АОН = _{ }ВОН_1, то

1) _{ }, значит (·)Н₁ лежит на продолжении луча ОН, т.е. точки Н, О, Н₁ лежат на одной прямой;

2) _{ }= 90°, значит НН_{1 }а и НН_{1 }в.

Т.к. а_{ }НН₁ и в_{ }НН₁, то а || в. _{ }

Т. (II признак параллельности двух прямых) Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

с Дано: с_{ }а, с_{ }в, _{ }и _{ }-соответственные, _{ }

а 1 Док-ть: а || в.

3 Док-во: Т.к. по условию _{ }, а _{ }, как

в 2 вертикальные углы, то_{ }. Но _{ }-накрест

лежащие углы. Значит, а || в (по I признаку параллельности двух прямых). _{ }

Т. (III признак параллельности двух прямых) Если при пересечении двух прямых секущей c сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

с Дано: с_{ }а, с_{ }в, _{ }и _{ }-односторонние,_{ }

а Док-ть: а || в.

3 1 Док-во: По условию _{   }

в 2 По свойству смежных углов _{ }

Но _{ } –накрест лежащие углы. Значит, а || в (по I признаку параллельности двух прямых). _{ }

О пределение 3. Аксиома – математическое утверждение, принимаемое в качестве исходного положения.

Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.

На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.

От любого луча в данную сторону можно отложить угол, равный данному, и притом только один.

Аксиома параллельных прямых: Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Определение 4. Утверждения, которые выводятся из аксиом или теорем, называются следствиями.

Следствия из аксиомы параллельных прямых:

1. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую.

2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Определение 5. Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением – условие данной теоремы.

Теорема, обратная I признаку параллельности двух прямых. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Р М а Дано: а || в, с-секущая, _{ }и _{ }-накрест лежащие.

1 Док-ть; _{ }= _{ }.

N 2 в Док-во: Допустим _{ }≠ _{ }. Отложим от луча МN

с _{ } так, чтобы _{ }PMN и _{ } были накрест лежащими углами. По I признаку параллельности двух прямых MP_{ }в. По условию а || в. Т.о. через точку М проходят две прямые (МР и а), параллельные прямой в, что противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит допущение не верно. Сл-но _{ }=_{ }.

Следствие: Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.

Теорема, обратная II признаку параллельности двух прямых. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

1 а Дано: а || в, с-секущая, _{ }и _{ }-соответственные.

3 Док-ть; _{ }= _{ }.

2 в Док-во: Т.к. а || в, то по теореме, обратной I

с признаку параллельности двух прямых _{ }2=_{ }3.

Т.к. _{ }1 и _{ }3 вертикальные углы, то _{ }1=_{ }3 _{ }1=_{ }2

Т еорема, обратная III признаку параллельности двух прямых. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.

с а Дано: а || в, с-секущая, _{ }1 и _{ }2-односторонние.

3 1 Док-ть;_{  }1=_{  }2.

2 в Док-во: Т.к. а || в, то по теореме, обратной I

признаку параллельности двух прямых _{ }2=_{ }3.

Т.к. _{ }1 и _{ }3 смежные углы, то _{ }1+_{ }3=180° _{ }1+_{ }2=180°

Б ЛОК №5 п.п. 30, 31, 32, 33

Т.Сумма углов = 180°

В А+_{  }В+_{  }С=180°

 А С

В _{ }ВCD-внешний угол АВС

А D С _{ }BCD=_{  }A+_{  }B

к

а

т гипотенуза

е

т катет

остроугольный прямоугольный тупоугольный

Т.(о соотношении между сторонами и углами треугольника)

А АВ АС _{ }С _{ }В А

Следствия:

В С 1)А 2)

С В С В

АВ ВС, АВ АС Если_{  }В=_{  }С, то - р/б.

Т.(неравенство треугольника)

В

АВ

ВС неравенства треугольника

А С АС