БЛОК №5. Геометрия.

Б ЛОК №5 п.п. 30, 31, 32, 33

Т. Сумма углов тр-ка = 180˚.

В a В

_{ }А+_{ }В+_{ }С=180º _{ } - внешний угол АВС

_{ }А+_{ }В

А С А

С K

катет гипотенуза

катет

остроугольный прямоугольный тупоугольный

Т . (о соотношении между Следствия: Т. (неравество )

сторонами и углами 1) 2) А В

тр-ка) А А

А С

АВ_{ }ВС+АС

В С С В С В ВС_{ }АВ+АС

А В _{ }АС _{ }В АВ_{ }ВС, АВ_{ }АС Если _{ }, АС_{ }АВ+ВС

то - р/б.

Теорема Сумма углов треугольника равна 180º.

a В Дано: АВС.

4 2 5 Док-ть: _{ }А+_{ }В+_{ }С=180º.

Док-во:

А 1 3 С Через (·)В проведем прямую а_{ }АС.

Т.к. _{ }1 и _{ }4 накрест лежащие углы при а_{ }АС и секущей АВ, то _{ }1=_{ }4 (по теореме, обратной I признаку параллельности двух прямых).

Т.к. _{ } и _{ } накрест лежащие углы при а_{ }АС и секущей ВС, то _{ }=_{ } (по теореме, обратной I признаку параллельности двух прямых).

_{ }4+_{ }2+_{ }5=180º

_{ }1+_{ }2+_{ }3=180º или _{ }А+_{ }В+_{ }С=180º. ▄

Опр.1. Внешним углом треугольника называется угол, смежный с углом треугольника.

Теорема (свойство внешнего угла треугольника)

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.

В Дано: АВС, _{ } - внешний угол.

2 Док-ть: _{ }А+_{ }В.

Док-во: По теореме о сумме углов тр-ка (_{ }1+_{ }2)+_{ }3=180º

А 1 3 4 По свойству смежных углов тр-ка _{ }4+_{ }=180º

С К _{ }4=_{ }+_{ }2 или _{ }А+_{ }В. ▄

Опр. 2. Треугольник называется остроугольным, если все три угла треугольника острые.

Опр. 3. Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой.

Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла называется гипотенузой, а две другие стороны катетами.

Опр. 4. Треугольник называется тупоугольным, если один из его углов тупой.

Теорема (о соотношении между сторонами и углами треугольника)

В треугольнике: против большей стороны лежит больший угол; обратно, против большего угла лежит большая сторона.

А Дано: АВС, АВ_{ }

Док-ть: _{ }В.

Док-во: Отложим на АВ отрезок, АД=АС. Т.к. АД_{ } А-Д-В.

2 1 Сл-но, _{ }- часть _{ }, значит _{ }С_{ }1. _{ }2- внешний угол

Д С ВСД, сл-но, _{ }2_{ }В. Т.К. АС=АД, то АСД-равнобедренный.

По 1 свойству р/б тр-ка _{ }1=_{ }2. Т.о. _{ }С_{ }1=_{ }В, значит В _{ }

Обратно: Дано: АВС, _{ }В.

Док-ть: АВ_{ }АС.

Док-во:

П редположим АВ не больше АС, тогда либо АВ=АС, либо АВ_{ }АС.Если АВ=АС, то

АВС-р/б, значит по 1 свойству р/б тр-ка _{ }, что противоречит условию. Если АВ_{ } тогда _{ }В, что тоже противоречит условию. Значит, предположение не верно, сл-но, АВ_{ } ▄

Следствия:

1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

2. Если два треугольника равны, то треугольник равобедренный..

А Дано: АВС,_{ }.

Док-ть: АВС-равнобедренный.

Док-во: Т.к. _{ }, то по теореме о соотношении между

сторонами и углами тр-ка АВ=АС, т.к., если, например, АВ_{ }

то _{ }В, что противоречит условию. Итак, АВ=АС, значит,

С В АВС-равнобедренный. ▄

Теорема (неравенство треугольника)

К аждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

В Дано: АВС,

Док-ть: АВ_{ }АС+ВС.

1 Док-во: Отложим на продолжении стороны АС

А 2 отрезок СД=СВ.

С Д По 1 свойству р/б тр-ка _{ }. В АВД _{ }1, значит, _{ } АВД_{ }2. По теореме о соотношении между сторонами и углами треугольника АД_{ }АВ. Но АД= АС+СД или АД=АС+ВС. Значит, АВ_{ }АС+ВС. ▄