БЛОК №6. Геометрия.

БЛОК №6 п.п.34, 35, 37, 38

Свойства прямоугольных треугольников

1. 2) 3)

В В В

30º

А С А С А С

_{ } = 90º АС = _{ }ВС Если АС = _{ }ВС, то _{ }=30_{ }

Признаки равенства прямоугольных треугольников

I II III IV

А АН – перпендикуляр

АМ – наклонная

Н М а АН – расстояние от точки до прямой

Т. Все точки каждой из 2^х _{ }^х прямых равноудалены от другой прямой.

А Х

АВ = ХУ

В У

А а

АВ – расстояние между прямыми а _{ } в

В

Задачи на построение:

построить треугольник

1. по двум сторонам и углу между ними,

2. по стороне и двум прилежащим к ней углам,

3. по трем сторонам.

Теорема (1 свойство прямоугольных треугольников) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º.

В Дано: АВС, _{ } А = 90º.

Док-ть: _{ } В + _{ } С = 90º.

Док-во: По теореме о сумме углов тр-ка _{ } А +_{ } В + _{ } С = 180º.

А С По условию _{ } А = 90º. Значит, _{ } В + _{ } С = 90º. ▄

Теорема(2 свойство прямоугольных треугольников) Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 30º, равен половине гипотенузы.

В Дано: АВС, _{ } А = 90º, _{ } В = 30º.

30º 30º Док-ть: АС = _{ } ВС.

Док-во:

По теореме о сумме углов тр-ка _{ } А +_{ } В + _{ } С = 180º.

60º 60º _{ } С = 180º– (_{ } А +_{ } В)

Д А С _{ } С = 180º– (90º +30º)=60º

Приложим к АВС равный ему АВД. Получим ВСД, в котором _{ } Д =_{ } ДВС = 60º. Поэтому ДС = ВС. Но АС = _{ } ДС, сл-но, АС = _{ } ВС. ▄

Теорема (3 свойство прямоугольных треугольников) Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30º.

Дано: АВС, _{ } А = 90º, АС = _{ } ВС.

Док-ть: _{ } АВС = 30º.

В Док-во: Приложим к АВС равный ему АВД. Получим

равносторонний ВСД, у которого _{ } Д =_{ } В = _{ } С = 60º.

Но _{ } АВС= _{ } ДВС, значит _{ } АВС= 30º. ▄

Д А С

Теорема (I признак равенства прямоугольных треугольников)

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема (II признак равенства прямоугольных треугольников)

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Т еорема (III признак равенства прямоугольных треугольников)

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

В В₁ Дано: АВС, А₁В₁С₁, _{ } С = _{ } С₁= 90º,

_{ } А = _{ } А₁, АВ = А₁В₁.

Док-ть: АВС = А₁В₁С₁.

С А С₁ А₁ Док-во:

По 1свойству прямоугольных треугольников

_{ } А +_{ } В = 90º _{ } В = 90º – _{ } А

_{ } А₁ +_{ } В₁ = 90º _{ } В₁ = 90º – _{ } А_{1  } В = _{ } В₁

По условию _{ } А = _{ } А₁

Т. к. АВ = А₁В₁, _{ } А = _{ } А₁ и _{ } В = _{ } В₁, то АВС= А₁В₁С₁ (по II признаку равенства треугольников).

Теорема (IV признак равенства прямоугольных треугольников)

Е сли гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

В В₁ Дано: АВС, А₁В₁С₁, ВС = В₁С₁

_{ } С = _{ } С₁= 90º, АВ = А₁В_1.

Док-ть: АВС = А₁В₁С₁.

1 2 Док-во:

С А С₁ А₁ А₂

Т. к. _{ } С = _{ } С₁, то АВС наложим на А₁В₁С₁ так, что вершина С совместится с вершиной С₁, а стороны СВ и СА наложатся соответственно на лучи С₁В₁ и С₁А₁. Т. к. СВ = С₁В₁, то вершина В совместится с вершиной В₁. Докажем, что вершина А совместится с вершиной А₁.

Предположим, что вершина А совместится с другой точкой А_{2 }С₁А₁. Тогда

А₁В₁А₂ равнобедренный и _{ }1=_{ }2, как углы при основании равнобедренного треугольника. Но _{ }1-тупой, а _{ }2- острый, значит, _{ }1≠_{ }2. Предположение не верно, значит, вершина А совместится с вершиной А₁.

Сл-но, АВС полностью совместится с А₁В₁С₁, т.е. АВС= А1В₁С₁▄

Определение 1. Перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к этой прямой.

Определение 2. Длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой.

Теорема. Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

А Х а Дано: а _{ } в, А_{  } а, Х_{  } а, В_{  } в, У_{  } в, АВ_{  } в, ХУ_{  } в.

₁ Док-ть: АВ = ХУ.

Док-во: Т.к. ХУ_{  } в и а_{  } в, то ХУ_{  } а.

² в Рассмотрим прямоугольные АВУ и АХУ:

В У АУ-общая гипотенуза АВУ= АХУ

_{ }1=_{ }2, как накрест лежащие (по гипотенузе и острому

углы при а_{ }в и секущей АУ углу) АВ = ХУ. ▄

Обратная теорема. Все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудаленные от нее, лежат на прямой, параллельной данной.

Определение 3. Расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой называется расстоянием между этими прямыми.

Задача 1. Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними.

Р ₁ Q₁ h Дано: отрезки Р₁Q₁, P₂Q_{2,  }hk.

P ₂ Q₂ Построить: АВС такой, что АВ= Р₁Q_1,

M АС= P₂Q_{2,  }А=_{  }hk.

C К Построение:

1. Проведем прямую а, на прямой а

отложим отрезок АВ= Р₁Q_1.

a 2. Построим _{ }ВАМ=_{  }hk.

A B 3. На луче АМ отложим отрезок АС= P₂Q₂.

1. Проведем отрезок ВС.

2. АВС – искомый.

Док-во: По построению АВ=Р₁Q₁, АС=P₂Q₂, _{ }А=_{ }hk.

Задача имеет единственное решение при условии: отрезки Р₁Q₁ и P₂Q₂-любые,

_{ }hk – неразвернутый.

Задача 2. Построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Задача 3. Построить треугольник по трем сторонам.

Р₁ Q₁ Дано: отрезки Р₁Q₁, P₂Q₂, P₃Q₃.

Построить: АВС такой, что АВ= Р₁Q₁, ВС= P₂Q₂,

P₂ Q₂ АС= P₃Q₃.

P₃ Q₃ Построение: 1. Проведем прямую а, на прямой

С отложим отрезок АВ= Р₁Q₁.

2. Построим окр. А(P₃Q₃) и окр. В(P₂Q₂), получим (·) С. _. 3. АВС – искомый.

Док-во: По построению АВ=Р₁Q₁, ВС=P₂Q₂, АС= P₃Q₃.

А В Задача имеет единственное решение, если каждый

из данных отрезков меньше суммы 2^х других.