Что такое фракталы

Что такое фракталы

Кто хотя бы раз видел фракталы, - удивительно красивые и таинственные геометрические объекты, - тот надолго заболел этим интересным и захватывающим научным явлением. Фракталы по своей природе парадоксальны. Они удивительно просты, и в то же время, бесконечно сложны. Что же такое фрактал? Фрактал происходит от латинского слова fraktus, в переводе с латинского означает разбитый (поделённый на части). В 1975 году Бенуа Мандельброт, гений-математик придумал это слово.

Первые исследования

Фракталы стали использоваться еще до того, как появился термин «фрактал». В самом начале XX века Льюис Фрай Ричардсон, исследуя протяженность побережья Англии. Он понял, что результаты будет сильно зависеть от инструмента, с помощью которого проводить измерения. Например, если измерять метровой линейкой, результат будет один. Если измерять в меньшем масштабе, сантиметровой линейкой — можно посчитать больше изломов, и в результате получится большее число. Продолжая логические заключения можно прийти к выводу, что ограничивая конечную площадь, береговая линия будет иметь бесконечную длину (этот парадокс получил название парадокс Ричардсона). На деле же это не происходит, из-за погрешностей и конечности размеров инструментов, которыми мы измеряем.

Простейший фрактал представляет собой геометрическую фигуру, которая состоит из частей, каждая из которых может быть поделена на новые части, причём каждая новая часть будет представлять уменьшенную копию целого. Чтобы лучше понять это описание рассмотрим процесс построения простейшего геометрического фрактала.

1. Возьмём отрезок АВ произвольной длины. Поделим его точками С и Д на 3 равные части. Получим ломанную АСЕДВ.

1. Каждое из звеньев АС, СЕ, ЕД, ДВ вновь поделим на 3 равные части и т. д. Получим ломанную АМКNCL…..XB.

Продолжая этот процесс до бесконечности, получим фрактал, который носит название кривой Коха или снежинка Коха. (слайд №7)

Треугольник Серпинского (слайд №8)

Этот фрактал назван в честь польского математика Вацлава Серпинского. В правильном треугольнике проводят средние линии и вырезают средний треугольник. Затем проведят средние линии 3-х оставшихся треугольников и в каждом исключют средние треугольники. Продолжая процесс бесконечно, получают фрактал, который носит название коврик Серпинского.

Кроме геометрических фракталов есть и алгебраические, они строятся при помощи алгебраических формул. Простейший фрактал такого рода – это множество Мандельброта. Получается оно с помощью преобразования в комплексной плоскости. Это множество состоит из бесконечного числа линий – траекторий начальной точки. Эксперимент показал, что точки образуют связное множество, граница которого весьма замысловата и причудлива. Форма главной части множества повторяется вновь и вновь в различных размерах. Графически это множество при помощи компьютера выглядит так:

Главное применение фракталов – современная компьютерная графика. С их помощью можно создавать поверхности очень сложной формы. Фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, морей, горных ландшафтов.

Фрактальная геометрия природы открыла новые горизонты геометрии. Все фракталы в определенной степени обладают свойством самоподобности. Это означает, что если взять часть фрактала, и увеличив ее, изучить детали, то вы обнаружите уменьшенную копию целого фрактала. Типичная иллюстрация этого свойства — ветвь папоротника. Каждая веточка, исходящая из основной ветви является ее уменьшенной копией.

Использование фракталов

После публикации Бенуа Мандельбротом работ по фракталам в 1975 году, первое практическое применение появилось в 1978 году – Лорен Карпентер использовал фрактальные алгоритмы для создания удивительно реалистичных горных массивов в компьютерной графике.

В 1990 году Натан Коэн, вдохновлённый «Снежинкой Коха» создал более компактную и чувствительную антенну используя только кусок провода и плоскогубцы. Сегодня антенны, построенные как фракталы, используются во многих мобильных телефонах и не только.

В кибернетике фракталы используются в алгоритмах сжатия изображений, в биологии – для моделирования популяций и для описания кровеносных систем.