Касательная к окружности

Касательная

к окружности

Геометрия, 8 класс

К учебнику Л.С.Атанасяна

Автор: Софронова Наталия Андреевна,

учитель математики высшей категории

МОУ «Упшинская основная общеобразовательная школа»

Оршанского района Республики Марий Эл

секущая

касательная

Взаимное расположение

прямой и окружности

а

c

b

В – точка касания

В

Подумайте, какая прямая называется секущей?

Подумайте, какая прямая называется касательной?

d

Взаимное расположение прямой и окружности

d – расстояние от центра О окружности до прямой а

а

а

а

d

d

О

О

О

а - не пересекает окружность

а - касательная

а - секущая

Докажем эти три утверждения

1 случай

В

А

Н

а

d

О

Доказать: прямая а и окружность (О; R) имеют две общие точки

Отложим на прямой а от точки Н два отрезка НВ и НА:

Проведем отрезки ОА и ОВ

Вывод: Точки A и В лежат на окружности, то есть прямая и окружность имеют две общие точки

А

С

К

В

Н

А

а

d

Доказать: прямая а и окружность (О; R) имеют две общие точки

О

Предположим, что прямая а и окружность имеют ещё одну общую точку С

ΔАОС – равнобедренный, АС лежит на прямой а ,

ОК – медиана, значит ОК - высота

Получили, что к прямой а из точки О проведены два перпендикуляра – ОН и ОК, что невозможно.

Вывод: наше предположение неверно, значит прямая а и окружность имеют две общие точки.

А

ОН, то есть ОМ R, значит точка М не лежит на окружности. Вывод: Точка Н – единственная общая точка прямой а и окружности. А " width="640"

2 случай

Н

М

а

d

О

Доказать: прямая а и окружность (О; R) имеют только одну общую точку

ОН = R, значит точка Н лежит на окружности

Возьмем на прямой а какую-нибудь точку М, проведем отрезок ОМ

ОМ ОН, то есть ОМ R,

значит точка М не лежит на окружности.

Вывод: Точка Н – единственная общая точка прямой а и окружности.

А

R, значит точка Н не лежит на окружности Возьмем на прямой а какую-нибудь точку М, проведем отрезок ОМ ОМ ОН R, значит точка М также не лежит на окружности Вывод: прямая а и окружность не имеют общих точек. А " width="640"

Н

М

3 случай

а

d

О

Доказать: прямая а и окружность (О; R) не имеют общих точек

ОН R, значит точка Н не лежит на окружности

Возьмем на прямой а какую-нибудь точку М, проведем отрезок ОМ

ОМ ОН R, значит точка М также не лежит на окружности

Вывод: прямая а и окружность не имеют общих точек.

А

Касательная к окружности

А

а

С

c

В

b

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Свойство касательной к окружности

Теорема Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

А

а

Предположим противное.

Тогда ОА – наклонная к прямой а .

Если провести к прямой а перпендикуляр ОН, то ОН

Получили d

Это означает, что прямая а и окружность имеют две общие точки ( а - секущая).

О

Это противоречит условию теоремы, значит наше предположение неверно. Остается ОА ⏊ а

d

Признак касательной к окружности

Обратная теорема. Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикуляр-на к этому радиусу, то она является касательной

А

а

О

d = R,

значит прямая а и окружность имеют одну общую точку.

Вывод: а - касательная

А

Отрезки касательных

C

B

О

Определение . Отрезки АВ и АС называются отрезками касательных, проведенных из точки А, если прямые АВ и АС являются касательными к окружности, точки В и С – точками касания.

Свойство отрезков касательных

Теорема Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

А

C

B

О

ΔBAO = ΔCAO (Почему?)

Из равенства треугольников следует …

Задача 1

А

C

76 0

О

B

СА и СВ - касательные к окружности, точки А и В – точки касания, ∠АСВ = 76 0 . Найдите величину угла АОВ.

10 см

Задача 2

B

5 см

А

О

C

АС и АВ - касательные к окружности, точки В и С – точки касания, АО = 10 см, ОВ = 5 см. Найдите величину углов ВАС и ВОС.

13

12

Задача 3

B

А

О

C

АС и АВ - касательные к окружности, точки В и С – точки касания, АО = 13 см, АВ = 12 см. Найдите радиус окружности.

Задача 4

А

B

16

О

C

ВА и ВС - касательные к окружности, точки А и С – точки касания, ОВ = 16 см, ОА ⏊ ОС. Найдите отрезки касательных к окружности.