МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ - обучающая карточка

Обучающая карточка: Поиск и упрощение подобных слагаемых

Тема: Поиск и упрощение подобных слагаемых.

Цель: Научиться определять подобные слагаемые в алгебраических выражениях и упрощать их, приводя к более простому виду.

Теоретическая справка:

• Слагаемое: Часть алгебраического выражения, которая складывается или вычитается.

• Коэффициент: Числовой множитель в слагаемом.

• Подобные слагаемые: Слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть. Коэффициенты при этом могут быть разными.

  • Примеры подобных слагаемых: 3x и 5x, -2y² и 7y², 4ab и -ab

  • Примеры неподобных слагаемых: 3x и 3y, 2x² и 2x, 5ab и 5a

Правило упрощения подобных слагаемых:

1. Определить подобные слагаемые: Выделить в выражении слагаемые с одинаковой буквенной частью.

2. Сложить коэффициенты подобных слагаемых: Сложить (или вычесть) числовые коэффициенты подобных слагаемых.

3. Записать полученное слагаемое: Записать новый слагаемое, состоящее из суммы коэффициентов и общей буквенной части.

Примеры:

1. Простые примеры:

   • 3x + 5x = (3 + 5)x = 8x

   • 7y - 2y = (7 - 2)y = 5y

   • -4a + 6a = (-4 + 6)a = 2a

2. Более сложные примеры:

   • 5x + 3y - 2x + 6y = (5x - 2x) + (3y + 6y) = 3x + 9y

   • 8ab - 3ab + 2bc - 5bc = (8ab - 3ab) + (2bc - 5bc) = 5ab - 3bc

   • 2x² + 4x - x² - x = (2x² - x²) + (4x - x) = x² + 3x

Задания:

Уровень 1: “Легкий старт” (Базовый уровень)

1. Упростите выражения, приведя подобные слагаемые:

   • 4x + 2x

   • 7y - 3y

   • -5a + 9a

   • 6b + b

   • 2c - 8c

2. Заполните пропуски:

   • 3a + 5a = ___a

   • 8x - 2x = ___x

   • -6y + 4y = ___y

   • 9b - b = ___b

   • 4m + 6m - 2m = ___m

Уровень 2: “Усложняем” (Средний уровень)

1. Упростите выражения, приведя подобные слагаемые:

   • 5x + 2y - 3x + 4y

   • 8a - 3b + 2a - 5b

   • 7mn + 2mp - 4mn - 6mp

   • -6c + 4d - 3c - d

   • 2x² + 5x - x² + 2x

2. Составьте выражение по условию и упростите его:

   • Сумма 3a и 5a, уменьшенная на 2a.

   • Разность 7x и 2x, увеличенная на 4x.

   • Сумма 4b и -6b, уменьшенная на 5b.

Уровень 3: “Профи” (Повышенный уровень)

1. Упростите выражения, приведя подобные слагаемые:

   • 3x²y + 5xy² - 2x²y + xy²

   • -4ab + 6ac - 2ab - 3ac + 5bc

   • 2m³ + 3m² - m³ - m² + 4m

   • 5a²b - 3abc + 2ab² - 4a²b + abc - 2ab²

   • 7(x+y) - 3(x+y) + 2x

2. Найдите значения выражений после их упрощения:

   • 6x + 4y - 2x - y, если x = 2, y = 3

   • -3a - 5b + 8a + 2b, если a = -1, b = 2

   • 4m² - 2m + m² + 3m, если m = -2

Ответы:

Уровень 1:

1. • 6x

   • 4y

   • 4a

   • 7b

   • -6c

2. • 8a

   • 6x

   • -2y

   • 8b

   • 8m

Уровень 2:

1. • 2x + 6y

   • 10a - 8b

   • 3mn - 4mp

   • -9c + 3d

   • x² + 7x

2. • 3a + 5a - 2a = 6a

   • 7x - 2x + 4x = 9x

   • 4b - 6b - 5b = -7b

Уровень 3:

1. • x²y + 6xy²

   • -6ab + 3ac + 5bc

   • m³ + 2m² + 4m

   • a²b - 2abc

   • 4x + 4y

2. • 4x + 3y = 4 * 2 + 3 * 3 = 8 + 9 = 17

   • 5a - 3b = 5 * -1 - 3 * 2 = -5 - 6 = -11

   • 5m² + m = 5 * (-2)² + (-2) = 5 * 4 - 2 = 20 - 2 = 18

Инструкция для ученика:

• Внимательно прочитайте задание.

• Определите подобные слагаемые в выражении.

• Сложите (или вычтите) коэффициенты подобных слагаемых.

• Запишите упрощенное выражение.

• Если нужно, подставьте значения переменных и вычислите результат.

• Проверьте свои вычисления.

Обучающая карточка: Вынесение общего множителя за скобку

Тема: Вынесение общего множителя за скобку.

Цель: Научиться выносить общий множитель за скобки в математических выражениях.

Теоретическая справка:

• Множитель: Число или переменная, на которую умножают другое число или переменную.

• Общий множитель: Множитель, который присутствует во всех членах суммы (разности).

• Вынесение общего множителя за скобки: Операция, обратная раскрытию скобок. Она позволяет представить выражение в виде произведения.

Правило вынесения общего множителя за скобки:

1. Найти наибольший общий множитель (НОМ) для всех членов выражения.

2. Разделить каждый член выражения на найденный НОМ.

3. Записать НОМ перед скобками, а в скобках – результаты деления членов на НОМ.

Примеры:

1. Числовой общий множитель:

   • Выражение: 15 + 25

   • НОМ: 5 (15 = 5 * 3, 25 = 5 * 5)

   • Вынесение: 5 * (3 + 5)

2. Переменный общий множитель:

   • Выражение: 4a + 6b

   • НОМ: 2

   • Вынесение: 2 * (2a + 3b)

3. Общий множитель с числом и переменной:

   • Выражение: 12x + 18xy

   • НОМ: 6x

   • Вынесение: 6x * (2 + 3y)

Задания:

Уровень 1: “Легкий старт” (Базовый уровень)

1. Вынесите общий множитель за скобки:

   • 10 + 15

   • 12 – 8

   • 6a + 9b

   • 5x – 10

   • 3y + 7y

2. Заполните пропуски:

   • 4a + 8b = 4 * (___ + ___)

   • 15x – 20y = 5 * (___ – ___)

   • 6c + 12 = 6 * (___ + ___)

   • 21 – 14b = 7 * (___ – ___)

Уровень 2: “Усложняем” (Средний уровень)

1. Вынесите общий множитель за скобки:

   • 14a + 21b

   • 18x – 24y

   • 30m + 15n – 45k

   • 10ab + 5ac

   • 12x² + 6x

2. Представьте выражение в виде произведения:

   • 8mn + 12mp

   • 9ab – 15bc

   • 24x²y + 18xy²

   • 10a³ + 15a²

   • 35c⁴ – 21c³

Уровень 3: “Профи” (Повышенный уровень)

1. Вынесите общий множитель за скобки:

   • 2a²b + 4ab² – 6abc

   • 16x³y² – 24x²y³ + 8xy⁴

   • -3m²n + 9mn² – 12m²n²

   • (a+b)x + (a+b)y

   • 5(x-y) – 3a(x-y)

2. Представьте выражение в виде произведения, используя вынесение за скобки:

   • (a + b)² + 2(a + b)

   • 3(x – y)² – (x – y)

   • a(b+c) - d(b+c)

   • 5x(x+3) + 2(x+3)

   • 4(m-n) - x(n-m)

Ответы:

Уровень 1:

1. • 5 * (2 + 3)

   • 4 * (3 - 2)

   • 3 * (2a + 3b)

   • 5 * (x – 2)

   • y * (3 + 7) или 10y

2. • 4a + 8b = 4 * (a + 2b)

   • 15x – 20y = 5 * (3x – 4y)

   • 6c + 12 = 6 * (c + 2)

   • 21 – 14b = 7 * (3 – 2b)

Уровень 2:

1. • 7 * (2a + 3b)

   • 6 * (3x - 4y)

   • 15 * (2m + n – 3k)

   • 5a * (2b + c)

   • 6x * (2x + 1)

2. • 4m * (2n + 3p)

   • 3b * (3a - 5c)

   • 6xy * (4x + 3y)

   • 5a² * (2a + 3)

   • 7c³ * (5c - 3)

Уровень 3:

1. • 2ab * (a + 2b – 3c)

   • 8xy² * (2x² – 3xy + y²)

   • -3mn * (m - 3n + 4mn) или 3mn(-m+3n-4mn)

   • (a+b) * (x+y)

   • (x-y) * (5-3a)

2. • (a+b)*(a+b+2)

   • (x-y)*(3(x-y)-1)

   • (b+c)(a-d)

   • (x+3)(5x+2)

   • (m-n)(4+x)

Инструкция для ученика:

• Внимательно прочитайте задание.

• Определите общий множитель для всех членов выражения.

• Разделите каждый член выражения на найденный общий множитель.

• Запишите общий множитель перед скобками, а в скобках – результаты деления.

• Проверьте себя, раскрыв скобки и убедившись, что получили исходное выражение.

Обучающая карточка: Разложение на множители

Тема: Разложение на множители.

Цель: Научиться представлять многочлены в виде произведения более простых выражений (множителей).

Теоретическая справка:

• Многочлен: Алгебраическое выражение, представляющее собой сумму одночленов.

• Множители: Выражения, которые умножаются друг на друга.

• Разложение на множители: Процесс представления многочлена в виде произведения двух или более многочленов (или одночленов).

Основные методы разложения на множители:

1. Вынесение общего множителя за скобки:

   • Применяется, когда все члены многочлена имеют общий множитель.

   • Пример: 6a + 9b = 3(2a + 3b)

2. Метод группировки:

   • Применяется, когда многочлен можно разбить на группы, в которых есть общие множители.

   • Пример: ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)

3. Формулы сокращенного умножения (ФСУ):

   • Разность квадратов: a² - b² = (a - b)(a + b)

   • Квадрат суммы: a² + 2ab + b² = (a + b)²

   • Квадрат разности: a² - 2ab + b² = (a - b)²

   • Сумма кубов: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

   • Разность кубов: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

Задания:

Уровень 1: “Легкий старт” (Базовый уровень)

1. Разложите на множители, вынеся общий множитель за скобки:

   • 8a + 12b

   • 15x - 20y

   • 4mn + 6m

   • 9c - 18

   • 5a² + 10a

2. Заполните пропуски:

   • 10x + 15y = 5(___ + ___)

   • 21a - 14b = 7(___ - ___)

   • 6mn + 12m = 6m(___ + ___)

   • a²b + ab² = ab(___ + ___)

Уровень 2: “Усложняем” (Средний уровень)

1. Разложите на множители, используя вынесение общего множителя за скобки или группировку:

   • ax + ay + bx + by

   • 2am - 2an + 3bm - 3bn

   • 10xy + 15x + 12y + 18

   • a²b + ab² + ac + bc

   • 4a²b + 8ab² + 2ab

2. Разложите на множители, используя формулы сокращенного умножения (ФСУ):

   • x² - 9

   • y² + 10y + 25

   • 4a² - 16b²

   • 9m² - 6m + 1

   • a³ + 27

Уровень 3: “Профи” (Повышенный уровень)

1. Разложите на множители, применяя комбинацию различных методов:

   • 2a² + 4ab + 2b²

   • x² - 4x + 4 - y²

   • m³ - m² + m - 1

   • a⁴ - b⁴

   • x³ - 6x² + 12x - 8

2. Разложите на множители:

   • a⁶ - b⁶

   • 8x³ + 125y³

   • (x+y)² - 4

   • (a-b)² + 2(a-b) + 1

   • a³ + 3a² + 3a + 1

Ответы:

Уровень 1:

1. • 4(2a + 3b)

   • 5(3x - 4y)

   • 2m(2n + 3)

   • 9(c - 2)

   • 5a(a + 2)

2. • 5(2x + 3y)

   • 7(3a - 2b)

   • 6m(n + 2)

   • ab(a + b)

Уровень 2:

1. • (a + b)(x + y)

   • (2a + 3b)(m - n)

   • (5x + 6)(2y + 3)

   • (a + b)(ab + c)

   • 2ab(2a + 4b + 1)

2. • (x - 3)(x + 3)

   • (y + 5)²

   • 4(a - 2b)(a + 2b)

   • (3m - 1)²

   • (a + 3)(a² - 3a + 9)

Уровень 3:

1. • 2(a + b)²

   • (x - 2 - y)(x - 2 + y)

   • (m - 1)(m² + 1)

   • (a - b)(a + b)(a² + b²)

   • (x-2)³

2. • (a-b)(a+b)(a²+ab+b²)(a²-ab+b²)

   • (2x+5y)(4x²-10xy+25y²)

   • (x+y-2)(x+y+2)

   • (a-b+1)²

   • (a+1)³

Инструкция для ученика:

• Внимательно изучите теоретическую справку.

• Начните с более простых заданий, постепенно переходя к более сложным.

• Попробуйте определить, какой метод разложения на множители наиболее подходит для каждого задания.

• Проверяйте свои ответы, раскрывая скобки (обратная операция).

• Применяйте формулы сокращенного умножения, если это возможно.

• Не бойтесь пробовать разные подходы, иногда нужно использовать несколько методов в одной задаче.