Старт осенних олимпиад для учителей, учеников и дошкольников! Специальные наградные, результаты сразу, комфортное участие.

СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Выбрать материалы

Скидки до 50 % на комплекты
только до

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Была в сети 18.12.2023 17:57

Тадевосян Полина Сергеевна

учитель математики

27 лет

501

99 333

Подписчики

Подписки

Местоположение

Россия, Данилов

Обо мне Блог Файлы Тесты Галерея Активность Награды

Методика решения задач по теме "Метод площадей"

Категория: Математика

08.12.2022 11:26

Просмотр содержимого документа
«Методика решения задач по теме "Метод площадей"»

Методика решения задач по теме «метод площадей»

Задача. На основании AC равнобедренного треугольника ABC взята точка E . Окружности w₁ и w₂, вписанные в треугольники ABE и CBE, касаются прямой BE в точках K и M соответственно.

Докажите, что KM = · |CE − AE|.
Определите, на сколько радиус окружности w₂ больше радиуса окружности w₁, если известно, что AE = 9, CE = 15, а радиус вписанной в треугольник ABC окружности равен 4.

I этап. Анализ условия задачи и построение чертежа.

Деятельность учителя	Деятельность ученика
1. Какая геометрическая фигура рассматривается в задаче?	1. Треугольник ABC
2. Какой вид у этого треугольника?	2. Равнобедренный треугольник с основанием AC
3. Что известно про этот треугольник?	3. На AC взята точка E
4. Какие еще геометрические фигуры рассматриваются в задаче?	4. Окружности w₁ и w₂
5. Как они расположены?	5. Окружности w₁ и w₂ вписаны в треугольники ABE и CBE и касаются прямой BE в точках K и M соответственно
6. Как построить вписанные окружности?	6. Центр вписанной окружности есть точка пересечения биссектрис треугольника
7. Сделаем чертеж	7.
8. Что еще известно из условия задачи?	8. AE = 9, CE = 15, а радиус вписанной в треугольник ABC окружности равен 4
9. Что требуется найти в задаче?	9 . Доказать, что KM =· \|CE − AE\|. Определить на сколько радиус окружности w₂ больше радиуса окружности w₁

Схематическая запись условия задачи

Дано: равнобедренный треугольник ABC с основанием AC ;E ∈ AC; окружность w₁, вписанная в треугольник ABE и касающаяся BE в точке K ; окружность w₂, вписанная в треугольник CBE и касающаяся BE в точке M ; AE = 9; CE = 15;

радиус вписанной в треугольник ABC окружности равен 4.

Найти:

Доказать, что KM = · |CE − AE|
r₂− r₁

этап. Поиск способа решения задачи

Деятельность учителя	Деятельность ученика
1. Что требуется найти?	1. Доказать, что KM =· \|CE − AE\|. О пределить на сколько радиус окружности w₂ больше радиуса окружностиw₁.
2. Как мы можем доказать под буквой А?	2. Выразить BK из треугольника ABE через его стороны и BM −из треугольника CBE . После найти модуль отрезка KM.
3. Как мы можем определить на сколько радиус окружности w₂ больше радиуса окружностиw₁ ?	3. Надо найти разность радиусов окружностей w₂ и w₁.
4. Как расположена окружность w₁?	4. Она вписана в треугольник ABE
5. Как мы можем найти радиус вписанной окружности?	5. По формуле площади треугольника S = pr⇒ r = ^S_p
6. Что нам необходимо найти, чтобы найти радиус?	6. Полупериметр треугольника и его площадь

7. Как мы можем найти сторону AB ?	7. Мы можем найти сторону AB из треугольника ABC
8. Что для этого требуется?	8. Дважды найдя площадь треугольника ABC : по формуле Герона и через радиус вписанной окружности, можем выразить сторону AB
9. Как мы можем найти сторону EB ?	9. В треугольнике ABC можно провести высоту BD и после по теореме Пифагора из треугольника BED выразить EB
10. Для того, чтобы применить теорему Пифагора необходимо знать две другие стороны. Как мы найти сначала, например, BD ?	10. Дважды найдя площадь треугольника ABC : по формуле Герона и через половину произведения стороны на высоту, можем выразить высотуBD
11. Как мы найти ED ?	11. Так как треугольник ABC равнобедренный, а BD - высота, следовательно, по свойству высоты в равнобедренном треугольнике, BD будем являться и медианой, а, значит, ED мы можем найти как разность половины AC и AE
12. Для чего мы искали стороны треугольника ABE ?	12. Чтобы найти его площадь
13. По какой формуле мы можем найти его площадь?	13. По формуле Герона
14. Для чего нам нужна площадь треугольника ABE ?	14. Зная площадь треугольника ABE и его полупериметр, можем выразить радиус вписанной в него окружности
15. По какой формуле мы можем это сделать?	15. S = pr⇒ r = ^S_p
16. Теперь остается найти радиус r₂ окружности w₂. Как расположена окружность w₁?	16. Она вписана в треугольник CBE
17. Как мы можем найти радиус вписанной окружности?	17. По формуле площади треугольника S = pr⇒ r = ^S_p
18. Что нам необходимо найти, чтобы найти радиус?	18. Полупериметр треугольника и его площадь
19. Какие элементы треугольника CBE мы знаем?	19. Мы знаем сторону BC = AB ,BE , его высоту BD и можем найти EC = AC + DE
20. Зная все три стороны, как мы можем найти площадь треугольника?	20. По формуле Герона
21. Для чего мы искали площадь треугольника CBE ?	21. Зная полупериметр и площадь треугольника CBE , можем найти радиус вписанной в него окружности
22. Найдя радиусы r₁и r₂окружностей w₁и w₂останется только найти их разность. Наметим план решения.	22. Выразить BK из треугольника ABE через его стороны и BM −из треугольника CBE . После найти модуль отрезка KM. Из треугольника ABC найти сторону AB = BC , выразив два раза его площадь: по формуле Герона и через вписанную окружность. Найти высоту треугольника ABC через формулу площади треугольника через половину произведения основания и высоты Найти DE как разность половины AC и AE Из прямоугольного треугольника BDE по теореме Пифагора найти BE Из треугольника ABE найти радиус вписанной в него окружности, выразив два раза его площадь: по формуле Герона и через вписанную окружность. Найти CE как сумму половины AC и DE Из треугольника CBE найти радиус вписанной в него окружности, выразив два раза его площадь: по формуле Герона и через вписанную окружность. Найти разность радиусов вписанных окружностей.

этап. Оформление решения задачи

А.

1) △ABE :

BF = BK (по свойству касательных)

AF = AI (по свойству касательных)

EI = EK (по свойству касательных)

BK = BE − EK = BE − (AE − AI) = BE − AE + AI = BE − AE + (AB − BF).

BK = BE − AE + AB − BF ⇔ 2BK = AB + BE − AE ⇔ BK = ^AB⁺^B₂^E⁻^AE 2) △CBE :

BM = BH (по свойству касательных)

CL = CH (по свойству касательных)

EM = EL(по свойству касательных)

BM = BE − EM = BE − (CE − CL) = BE − CE + CL = BE − CE + (CB − BH).

BM = BE − CE + CB − BH ⇔ 2BM = CB + BE − CE ⇔ BM = ^CB⁺^B₂^E⁻^CE

KM = |BK − BM|
из пунктов 1-3⇒ KM = |AB+BE−AE−2CB−BE+CE|

Так как AB = BC (по условию), то KM = · |CE − AE|.

Пусть AB = BC = x
AC = AE + CE = 9 + 15 = 24
△ABC : p(ABC) = P(ABC)/2 = (x + x + 24)/2 = x + 12
△ ABC :S(ABC) = √p(p − AB)(p − BC)(p − AC)( поформулеГерона)

△ABC :S(ABC) = pr

S(ABC) = (x + 12) · 4

и з пунктов 4), 5)⇒ ⇔ x + 12 = 3√(x + 12)(x − 12) ⇔ (x + 12)²= 9(x + 12)(x − 12) ⇔ x + 12 = 9x − 108 ⇔ 8x = 120 ⇔ x = 15. 7) из пунктов 5), 6)⇒ S(ABC) = (x + 12) · 4 = 27 · 4 = 108

доп. построение: BD⊥AC ⇒ BD −медиана (по свойству высоты в равнобедренном треугольнике)
изпункта8)⇒S(ABC) AC ⇒ BD = 2S(ABC) : AC = 216 : 24 = 9
DE = AD − AE (AD пункт 8)