Переход к новому основанию логарифма

План-конспект урока алгебры и начал анализа 11 класс

кУРНИК л.м.

Формула перехода
к новому основанию логарифма

Цели: вывести формулу перехода к новому основанию логарифма и сформировать представление о связи логарифмических функций с разными основаниями логарифма; вывести два следствия из указанной формулы; формировать умение использовать формулу перехода для решения задач.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Вычислить.

а) log ₂ 16; б) 32; в) lg 0,0001;

г) log ₃ + log ₂ 18; д) lg 500 – lg 5; е) log ₅ 25⁴.

2. Замените * соответствующим числом.

а) log _* 4 = –2; б) = 11; в) log ₂ 16^* = 20;

г) log ₂ 100 – log ₂ * = 1; д) = 81; е) = 1.

III. Объяснение нового материала.

1. Актуализация знаний.

Вспоминаем, как связаны графики функций y = f (x), y = f (x) + b,
y = k · f (x), y = f (x + a) и y = f (mx). Механические преобразования предполагают параллельный перенос либо сжатие (растяжение) вдоль осей координат графика исходной функции.

2. На рисунке 215 учебника представлены графики функций y = log ₂ x, y = log ₃ x. Замечаем, что график функции y = log ₂ x получен растяжением графика функции y = log ₃ x вдоль оси Oу. Но возможно это только видимость, доказать можно вывод, если верно равенство log ₂ x = k · log ₃ x, где k – некоторое число. Возникает проблемная ситуация.

3. Для решения поставленной проблемы нам необходима теорема:

log _a b = , где a 0, b 0, c 0, a  1.

 Пусть x = log _a b, y = log _c b, z = log _c a, тогда a^x = b; c^y = b; c^z = a, значит, a^x = c^y. Так как a = c^z, то (c^z)^x = c^y, то есть c^zx = c^y. Следовательно, zx = y, то есть x = или log _a b = 

Необходимо провести это доказательство с учащимися в классе. Это позволит еще раз проследить связь взаимообратных функций y = log _a x и y = a^x.

4. На основании доказанной теоремы мы можем подтвердить свою догадку:

log ₃ x =  log ₂ x = log ₂ 3 · log ₃ x.

Значит, коэффициент растяжения k = log ₂ 3.

5. Предлагаем учащимся самостоятельно вывести следствия из доказанной теоремы. На доску выносим запись всех трех формул.

Третью формулу можно также выписать в виде:

IV. Формирование умений и навыков.

1. Упражнения, выполняемые на этом уроке, направлены как на закрепление самой формулы перехода к новому основанию логарифма, так и на применение её и её следствий для вычисления значений выражений и сравнения чисел. В каждом примере возникает необходимость обоснования выбора нового основания логарифма, к которому осуществляется переход.

2. № 46.1 (а; б), № 46.2, № 46.4 (а; б)

Решение:

№ 46.1.

а) log ₂ + log ₄ 9 = log ₂ + 3² = log ₂ + log ₂ 3 =
= log ₂ = log ₂ 1 = 0.

б)

= 2.

№ 46.2.

log ₂ 3 = a.

а) log ₃ 2 = ;

б) log ₃ = log ₃ 2^–1 = –1 · log ₃ 2 = –1 · ;

в) log ₃ 4 = log ₃ 2² = 2 log ₃ 2 = 2 · ;

г) log ₃ = log ₃ 4^–1 = – log ₃ 4 = .

№ 46.4.

log ₂ 3 = a.

а) log ₄ 9 = 3² = log ₂ 3 = a;

б) log ₈ 18 = log ₈ 2 + log ₈ 9 = 2 + 3² = log ₂ 2 +
+ · 2 · log ₂ 3 = a = ;

в) log ₄ 81 = log ₄ 9² = 2 log ₄ 9 = 2a;

г) log ₈ 54 = log ₈ (18 · 3) = log ₈ 18 + log ₈ 3 = + 3 =
= + · log ₂ 3 = = a + .

3. № 46.5 (а; б), № 46.6 (а; б).

Для сравнения чисел необходимо привести логарифмы к одному основанию. Кроме того, необходимо учитывать характер монотонности логарифмической функции.

Решение:

№ 46.5 (а).

log ₂ 7 и log ₇ 4.

Приведем второй логарифм к основанию 2.

log ₇ 4 = 2 log ₇ 2 = .

Оценим полученные выражения:

2 ₂ 7

;

Значит, ₂ 7, или log ₇ 4 ₂ 7.

№ 46.6 (б).

3 и 1,5.

Имеем: .

Функция y = x – монотонно убывает. Так как 3 , то 3 , значит, 3 1,5.

4. № 46.9 (а; б), № 46.10*.

Для решения упражнений данной группы учащимся необходимо применять все ранее изученные свойства логарифмов и формулу перехода к новому основанию логарифма.

Необходимо побуждать ребят использовать разные следствия теорем о переходе к новому основанию в зависимости от задачной ситуации.

Решение:

№ 46.9

а)
+ = 16 + 4 = 20;

б) log ₃ 8 · log ₂ 27 – = log ₃ 2³ · log ₂ 3³ – =
= 3 · log ₃ 2 · 3 · log ₂ 3 – = 9 – 5 = 4.

Ответ: а) 20; б) 4.

№ 46.10

а) = log ₂ 56 · log ₂ 28 – log ₂ 7 · log ₂ 224 =
= (log ₂ 7 + log ₂ 8)(log ₂ 4 + log ₂ 7) – log ₂ 7 (log ₂ 7 + log ₂ 32) =
= (log ₂ 7 + 3)(2 + log ₂ 7) – log ₂ 7 (log ₂ 7 + 5) = 2 log ₂ 7 + +
+ 6 + 3 log ₂ 7 – – 5 log ₂ 7 = 6.

б) = log ₃ 135 · log ₃ 45 – log ₃ 5 · log ₃ 1215 =
= (log ₃ 5 + log ₃ 27)(log ₃ 5 + log ₃ 9) – log ₃ 5 (log ₃ 5 + log ₃ 243) =
= (log ₃ 5 + 3)(log ₃ 5 + 2) – log ₃ 5 (log ₃ 5 + 5) = + 2 log ₃ 5 +
+ 3 log ₃ 5 + 6 – – 5 log ₃ 5 = 6.

Ответ: а) 6; б) 6.

V. Итоги урока.

Вопросы учащимся:

– Каким образом связаны графики различных логарифмических функций?

– Назовите формулу перехода к новому основанию логарифма.

– Какие следствия существуют из теоремы о переходе к новому основанию логарифма?

Домашнее задание: № 46.1 (в; г), № 46.3, № 46.4 (в; г), № 46.5 (в; г), № 46.6 (в; г), № 46.9 (в; г).