Логарифмы и их свойства

Дата проведения:

Группа:

Тема: «Логарифмы и их свойства».

Цели и задачи урока:

Образовательная: рассмотреть понятие логарифма числа и свойства логарифмов;

овладеть знаниями и умениями использовать основное логарифмическое тождество, формулы перехода от одного основания к другому в процессе решения упражнений;

Развивающая: развивать мышление учащихся при выполнении упражнений;

научить учащихся определять логарифм числа и его свойства;

Воспитательная: воспитать интерес к уроку.

Тип урока: усвоение новых знаний.

Методическое обеспечение:  учебники, индивидуальные карточки.

Литература: учебник математики 10 кл. Колмогоров А.Н.

Ход занятия

1. Организационный момент

Перед началом урока преподаватель проводит проверку подготовленности кабинета к занятию.

Сообщается тема и цель урока.

2. Актуализация знаний

В кратком вступительном слове преподаватель акцентирует внимание студентов о важной

роли логарифмов в курсе математики.

3. Повторение ранее изученного материала

Опрос

Преподаватель задает вопросы:

1) Что такое степень; что такое основание степени; что такое показатель степени.

2) Работа над основными свойствами степеней. Рассмотреть связь между показателями степеней в равенствах

3) Решить устно примеры:

4. Изучение нового материала

План

1. Логарифм числа. Основные свойства логарифмов.

2. Основное логарифмическое тождество.

3. Формула перехода одного основания логарифмов к другому.

Преподаватель излагает новый учебный материал

Логарифм числа

Понятие логарифма числа связано с решением показательных уравнений.

Остановимся на решении двух показательных уравнений. Решение уравнения   не вызывает труда. Так как  то данное уравнение примет вид   Поэтому уравнение имеет единственное решение 

А теперь попробуем решить уравнение   По теореме о корне это уравнение также имеет единственное решение. Однако, в отличие от предыдущего уравнения, это уравнение является иррациональным числом. Докажем, что корень данного уравнения является числом рациональным, т.е.  Тогда выполняется равенство   или   Но   в любой натуральной степени будет числом четным, а   в любой натуральной степени – число нечетное. Получаем противоречие, которое и доказывает, что корень уравнения – число иррациональное. Обдумывая, ситуацию с показательным уравнением   математики ввели в рассмотрение новый символ – логарифм. С помощью этого символа корень уравнения   записали так:   (читается : логарифм числа   по основанию 

Остановимся теперь на понятии логарифма числа. Очень часто приходится решать задачу: известно, что   необходимо найти показатель степени   т.е. решить задачу, обратную возведению числа в степень. При нахождении этого показателя степени   и возникает понятие логарифма числа   по основанию   

дается определение логарифма

Например

а) log ₃ 81 = 4, так как 3⁴ = 81;

б) log ₅ 125 = 3, так как 5³ = 125;

в) log _0,5 16 = -4, так как (0,5)^-4 = 16;

г)  , так как  = =

Введение основного логарифмического тождества 

Из определения логарифма следует основное логарифмическое тождество:

( где b 0, a 0 иa ≠ 1)

Согласно тождеству:

=5; .

Рассмотрим   =8

Обратите внимание на то, что   является корнем уравнения   , а поэтому  =8

Таким образом и получается основное логарифмическое тождество

Это равенство является краткой символической записью определения логарифмов.

Решить примеры согласно тождеству:  ;

=5;      .

Подчеркнем, что   и   одна и та же математическая модель

Операцию нахождения логарифма числа называют ЛОГАРИФМИРОВАНИЕМ. Эта операция является обратной по отношению к возведению в степень с соответствующим основанием.

По определению соотношения y = a^x и x = log_a y при условии, что a  0 и a ≠ 1, эквиваленты. Переход от первого равенства ко второму называется логарифмированием , а переход от второго к первому – потенцированием.

Например:

• логарифмируя равенство:   ,получаем log _1/2

• потенцируя равенство:  , log₂ 8 = 3, будем иметь 2³ = 8

Сравните.

Основные свойства логарифмов 

Эти свойства вытекают из определения логарифма и свойств показательной функции.

При любом a 0 (a   1) и любых положительных x и y выполнены равенства:

• log_a 1 = 0.

• log_a a = 1.

• log_a xy = log_a x + log_a y.

• log_a = log_a x - log_a y.

• log_a x^p = p log_a x

для любого действительного p.

Решить примеры устно. Найти x

1.  Ответ: 

2.  Ответ: 

3.  Ответ:

4.  Ответ: 

5.  Ответ:

Упростить выражения:

a) 

б)

в) 

Ответ. a)  ; б) ; в) 

5. Закрепление изученного материала

Найти логарифм по основанию a числа представленного в виде степени с основанием a

Упростите выражения, пользуясь основным логарифмическим тождеством.

Выполнить упражнения. Работа по индивидуальным карточкам.

6. Подведение итогов, домашнее задание