План конспект по Геометрии 9 класс на тему: «Длина окружности»

План конспект по Геометрии 9 класс на тему: «Длина окружности».

Цель урока: вывод формул для нахождения длины окружности и длины дуги окружности. Формирование умений учащихся применять выведенные формулы к решению задач.

Тип урока: комбинированный.

Требования к уровню подготовки учащихся: записывают и объясняют формулы длины окружности и дуги окружности. Формулируют теорему об отношении длины окружности к его диаметру. Применяют изученные формулы к решению задач.

Ход урока

И. Проверка домашнего задания, актуализация опорных знаний учащихся

Проверить наличие выполненных домашних заданий и ответить на вопросы, которые возникли у учащихся при выполнении домашних заданий.

Задача 1. Решение

Пусть BD = 4 см (рис. 88), тогда ОВ = = = 2 см, АВ = ОВ = 2 (см).

Ответ. 2 см.

Задача 2. Доведение

Пусть ABCD - квадрат, AMDNCKBL - правильный восьмиугольник (рис. 89), точка О - центр этих многоугольников, OA = R. Из прямоугольного треугольника AMF имеем AM = . Учитывая, что OA = R, AD = AO ∙ = R .

FM = OM - OF = R - = R - , имеем: AM = = = = .

Фронтальная беседа

1. 1) В окружность вписан правильный треугольник, и вокруг этого самого круга описан правильный треугольник (рис. 90). Сторона описанного треугольника равен а, а сторона вписанного - b. Определите, какие из приведенных утверждений являются правильными, а какие - неправильными.

а) a = 3b.

б) Точки пересечения медиан обоих треугольников совпадают.

в) Радиус окружности равен .

г) Радиус круга равен .

1. 2) Вокруг квадрата описана окружность радиуса R, и в этот самый квадрат вписан круг радиуса r (рис. 91). Определите, какие из приведенных утверждений являются правильными, а какие - неправильными.

а) R = r .

б) Центры описанной и вписанной окружностей совпадают.

в) Сторона квадрата равна R .

г) Сторона квадрата равна

Самостоятельная работа

Самостоятельную работу можно провести за пособием [14], тест 6 «Правильные многоугольники».

II. Первичное восприятие и осознание нового материала

Длина круга

Чтобы наглядно представить, что такое длина окружности, представим, что круг сделан из тонкой проволоки. Если такое круг разрезать в некоторой точке А и распрямить круг, то получим отрезок AA1, длина которого и является длиной окружности (рис. 92).

Периметр любого правильного вписанного в окружность многоугольника является приближенным значением длины окружности. Чем больше число сторон такого многоугольника, тем точнее это приближение, поскольку многоугольник при увеличении числа сторон все ближе и ближе «прилегает» к кругу.

Теорема. Отношение длины окружности к ее диаметру одно и то же для каждого круга.

Доведение

Пусть имеем два произвольных круга (рис. 93), радиусы которых равны R1 и R2, а длины окружностей - С1 и С2. В каждое из этих кругов впишем правильные n-угольники с одинаковым числом сторон, длины которых равны аn и а'n, тогда их периметры Гn и Р'n соответственно равны:

Pn = nan = n ∙ 2R1sin , Г'n = na'n = n ∙ 2R2sin .

Тогда .

Если значение n неограниченно увеличивать, то периметры Гn и Р'n направляться в длин окружностей С1 и С2, а отношение периметров - отношения . Следовательно, , или , что и требовалось доказать.

Отношение длины круга к его диаметру 2R принято обозначать греческой буквой n. Число n - иррациональное число, его приближенное значение n 3,1415926.

Следовательно, , откуда C = 2nR.

C = 2nR - формула длины окружности.

Выполнение упражнений

1. 1. Найдите длину окружности радиуса 5 см.

2. 2. Найдите длину диаметра круга 5 см.

3. 3. Найдите радиус окружности, длина которого равна 16n см.

4. 4. Найдите диаметр окружности, длина которого равна 5n см.

Нахождения длины дуги окружности

Найдем длину дуги окружности, соответствующей центральному углу п°. Поскольку развернутом углу соответствует длина полукруга πR (рис. 94), то углу 1° соответствует дуга длиной , а углу п° - дуга длиной .

Выполнение упражнений

1. 1. Найдите длину дуги окружности радиуса 1 см, которая соответствует центральному углу, что составляет:

а) 30°; б) 270°.

Решение

а) (см);

б) (см);

Ответ. 0,52 см; 4,71 см.

1. 2. Сколько градусов содержит центральный угол, если соответствующая ему дуга составляет:

а) ; б) ; в) круга?

Решение

∙ 360° = 120°; ∙ 360° = 72°; ∙ 360° = 240°.

Ответ. 120°, 72°, 240°.

1. 3. По данным радиусом R = 1 м найдите длину дуги, соответствующей центральному углу, что составляет:

а) 45°; б) 120°; в) 60°30'; г) 150°36'.

Решение

а) (м);

б) (м);

в) (г);

г) (г).

Ответ. 0,79 м; 2,09 м; 1,05 м; 2,63 м.

III. Закрепление и осмысление нового материала

Решение задач

1. 1. Длина круга, описанного вокруг квадрата, равна 6π см. Найдите сторону этого квадрата. (Ответ. 3 см.)

2. 2. Сторона правильного треугольника равна а. Найдите длину окружности, являются:

а) вписанным в треугольник;

б) описанным вокруг этого треугольника.

(Ответ а) ; б) .)

1. 3. Найдите радиус круга, дуга которого имеет длину 15,7 см и соответствует центральному углу, что составляет 24°. (Ответ. 37,5 см.)

2. 4. Длины оснований и боковой стороны рівнобічної трапеции соответственно равны 9 см, 25 см и 17 см. Найдите длину окружности, вписанной в трапецию. (Ответ. 15π см.)

3. 5. Длина отрезка АВ равна а. На нем обозначены точки С1, С2, ..., Сn и построено полукруга (рис. 95), которые имеют диаметры АС1, С1С2, ..., СnВ. Найдите длину построенной кривой с концами в точках А и В. (Ответ. .)

1. 6. Найдите отношение периметра правильного восьмиугольника до диаметра и сравните его с приближенным значением n.

Решение

Пусть АВ - сторона восьмиугольника (рис. 96), тогда по теореме косинусов из треугольника АОВ имеем: АВ2 = ОА2 + ОВ2 - 2 ∙ ОА ∙ OB ∙ cos AOB, где OA = OB = R, АОВ = 360° : 8 = 45°. Тогда AB2 = R2 + R2 - 2 ∙ R2 ∙ = 2R2 - R2 , AB = .

Периметр восьмиугольника P8 = 8AB = 8 , диаметр круга 2R.

Следовательно, P8 : 2R = 8 : 2R = 4 3,06, а n 3,14.

Ответ. 3,06 3,14.

1. 7. Шкив диаметра 1,4 м осуществляет 80 оборотов за минуту. Найдите скорость точки на ободе шкива.

Решение

Длина шкива: C = 2nR = n ∙ 1,4 = 4,396 (м). Путь, пройденный точкой за минуту: S = C ∙ 80 = 4,396 ∙ 80 = 351,68 (м).

Скорость точки на ободе шкива:

V = = = 351,68 .

Ответ. 351,68 .

1. 8. Расстояние между любыми двумя точками на поверхности Земли равна 1 км? Радиус Земли равен 6370 км. Какой угол образуют радиусы Земли, проведенные до двух данных точек?

Решение

Пусть ОА = ОВ = 6370 км, lAB = 1 км (рис. 97). Поскольку , то имеем ; 180 = 6370n, отсюда n = 0,009.

Следовательно, искомый угол равен n° = 0,009° = 0,009 ∙ 60' = 0,54' = 0,54 ∙ 60" 32".

Ответ. 32".

1. 9. По данной хордой а найдите длину ее дуги, если градусная мера дуги равна 120°.

Решение

Пусть АВ = а, AOB = 120° (рис. 98), OA = OB = R. По теореме косинусов имеем:

АВ2 = АО2 + ВO2 - 2 ∙ АО ∙ H ∙ cos AOB;

a2 = 2R2 - 2R2 cos120°; a2 = 2R2 + R2; a2 = 3R2; R2 = ; R = .

Тогда .

Ответ. .

1. 10. За длиной дуги l найдите хорду, если дуга составляет 120°.

Решение

Поскольку , то . По теореме косинусов (рис. 98): АВ2 = АО2 + ВО2 - 2 ∙ АО ∙ H ∙ cos AOB = R2 + R2 + R2 = 3R2 = 3 . Отсюда АВ = .

Ответ. .

IV. Самостоятельная работа

Самостоятельную работу обучающего характера можно провести за пособием [14], тест 7 «Длина окружности. Длина дуги окружности».

V. Домашнее задание

1. 1. Изучить формулы длины окружности и длины дуги окружности.

2. 2. Решить задачи.

3. 1) Вычислите длину окружности, если радиус равен: а) 10 м; б) 15 м.

4. 2) Найдите длину дуги окружности радиуса 1 см, которая соответствует центральному углу, что составляет:

а) 45°; б) 120°.

1. 3) Найдите градусную меру центрального угла, если соответствующая ему дуга составляет:

а) ; б) ; в) .

1. 4) По данному кругом радиуса R = 1 м. найдите длину дуги, соответствующей центральному углу, что составляет:

а) 30°; б) 45°45'.

VI. Подведение итогов урока

Задача класса

1. 1. Чему равно отношение длины окружности к диаметру?

2. 2. Запишите формулы для нахождения:

а) длины окружности;

б) длины дуги окружности, соответствующей углу в n°.

и