Кыргызстан, Жалал-Абад
СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
Был в сети 04.02.2018 09:45
Примбердиев Фуркат Муталибович
Учитель математики
49 лет
430
108 360 
Местоположение
Применение производной к построению графиков функций
Категория:
Математика
04.02.2018 09:39
Тема:
ГЛАВА 5. Производная
Просмотр содержимого документа
«Применение производной к построению графиков функций»
Тема: «Применение производной к построению графиков функции»
Цели урока:
1) образовательная: знакомство студентов с общей схемой исследования функции методом построения графика четной и нечетной функции, обучение проведению исследования и построению графика;
2) воспитательная: воспитание требовательного отношения к себе при самостоятельном изучении нового материала;
3) развивающая: развитие наблюдательности, умения рассуждать и аргументировать свои действия.
Оборудование: записи на доске, карточки, сигнальные карточки (зеленая-красная), компьютер, мультимедиапроектор, таблица производных, правила дифференцирования.
Тип урока: урок - теоретическое и практическое исследование.
Ход урока
I. Организационный момент
Настрой к уроку. Музыка – «Зимнее утро», приветствие гостей (слайд 2-4).
Сообщение темы и целей урока (слайд 5).
Разбор значения слов Анатоль Франс: «Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом». (слайд 6)
Новая тема (слайд 7)
Зарядка для памяти (слайд 8,9,10)
П. Проверка домашнего задания
При изучении нового материала необходимы знания, полученные ранее: «Возрастание и убывание функции», «Экстремумы функции», «Формулы производных». (Выполняется устно.)
- Назовите промежутки убывания, возрастания, экстремумы функции. (Слайд 11,12)
Работа по графикам (слайд 13-14)
(Задания выполняются по вариантам с последующей взаимопроверкой на компьютере.)
- По изображенному графику установите соответствие между каждым интервалом (А-Е) и характером поведения функции на этом интервале.
| Вариант I Интервалы: А = (-3;0); В = (-2;0); С = (-2;2); D = (0;3); Е = (1;3). Поведение: 1) убывает; 2)возрастает 3) имеет минимум; 4) имеет максимум.
Ответы: А2, В2, С4, D1, Е1.
| Вариант II Интервалы: А = (-3;-1); B=(l; 3); C=(-l; l); Д=(0;2); Е = (-2;0).
Поведение: 1) убывает; 2) возрастает; 3) имеет минимум; 4) имеет максимум. Ответы: А2, В3, С4, D1, Е2. |
- Обменяйтесь тетрадями, проверьте работу соседа по компьютеру. Поднимите руки, те у кого нет ошибок. Поднимите теперь те у кого ошибки.
III. Актуализация опорных знаний
На начальном этапе создаются условия для дальнейшей эффективной работы на уроке: организация рабочего пространства, привлечение внимания обучающихся к предстоящей учебной деятельности, учебному предмету.
Игра «Карусель» (для проверки темы «Производные»).
IV. Работа с учебником (стр 145 -154- высветить на экран)
Самостоятельное изучение нового материала по плану, записанному на доске.
План:
Прочитать текст параграфа «Применение производной к построению графиков функций». Дать возможность обучающимся самостоятельно ставить и решать задачи в рамках изучаемой темы.
Записать в тетрадь схему исследования функции.
Записать с преподавателем образец решения заданий 2 и 3. Преподаватель строит работу таким образом, чтобы получить информацию об уровне усвоения учебного материала различными обучающимися.
Рассмотреть метод построения графика четной (нечетной)
функции на примере одной из задач учебника.
Образцы решений.
Задание 2. Постройте график функции у= (х) = х3 - 2х2 + х.
Решение.
1. Область определения D(f) = R.
Найдем производную f'(x) = (х3 - 2х2 + х )' = 3х2- 4х +1.
Найдем критические точки, решив уравнение f'(x) = 0. 3х2- 4х + 1 = 0,
(3х-1) (х-1) = 0
х1 =1, х2= 1/3
4. Найдем промежутки возрастания и убывания, используя метод интервалов и правило чередования знаков.
Функция возрастает на промежутках: (-∞, 1/3) и (1,+ ∞), так как f'(x)
Так как f'(x) на промежутке (1/3, 1), значит, функция убывает на этом промежутке.
5. При переходе через точку х = - знак производной меняется с «+» на «-», значит, это точка максимума. При переходе через точку х = 1 знак производной меняется с «-» на «+», значит, это точка минимума. Значения в экстремумах равны:
f (1/3)= (1/3)3-2 (1/3)2+ 1/3= 4/27;
f (1)= 1-2 +1=0
Составим таблицу по результатам исследования
| х | (-∞, 1/3) | 1/3 | (1/3, 1) | 1 | (1,+ ∞) |
| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |
| f(х) | ↑ | 4/27 |
| 0 | ↓
|
7. Найдем абсциссы точек пересечения графика с осью Ох:
х3 -2х2 + х = 0, х (х2 -2х + 1) =0,
х (х -1)2 =0, х = 0 или х = 1.
8. Построим график функции.
Физминутка
Работа по учебнику
Задание 3. Постройте график функции f(х) = 1- 5/2 х2 -х5.
Решение.
Область определения D(f) =R.
Найдем производную f'(x = -5х - 5х4 = -5 х (1 +х3).
Найдем критические точки, решив уравнение f'(x) = 0. -5х(1 + х3) = 0, следовательно,
Х1 =0, х2 = -1.
4.Найдем промежутки возрастания и убывания, используя метод интервалов и правило чередования знаков:
для производной
f'(x =-5х (1+х3) имеем 3 интервала знак постоянства:
(-∞;-1); (-1;0); (0;+ ∞).
f'(x)0 на промежутке (-1; 0), значит, функция возрастает на этом промежутке.
Аналогично f'(x) 0 на промежутках (-∞;—1) и (0; +∞), значит, функция на них убывает.
5. При переходе через точку х = -1 производная меняет знак с «-» на «+», значит, это точка минимума. При переходе через точку х = 0 производная меняет знак с «+» на «-», значит, это точка максимума. Значения в экстремумах равны:
f(-1)=-0,5 f(0)=1
5.Творческое задание
Задачи, выделенные преподавателем, конкретизируют цель, представляя собой промежуточный результат, способствующий достижению основной цели урока.
Материал представлен в доступной обучающимся форме в соответствии с дидактическими принципами.
Задание 4.
Завершите эскиз графика функции, зная, что у = f(x) - четная функция,
а)
Ответ:
б)
Ответ:
VI. Закрепление изученного материала
Задачи способствуют развитию познавательных способностей обучающихся.
Задание 8. Постройте график функции.
Работа в группах по 4 человека. Один из учащихся каждой группы решает на обратной стороне доски. Группы решают примеры по очереди, консультируясь друг с другом в группе.( См. приложение.)
а) у = 2 + 5х3 -Зх5;
б) у = 4х5 -5х4;
в) у = Зх5 -5х3.
VII. Подведение итогов урока
- По какой схеме проводится исследование свойств функции?
Ответ:
Надо найти:
Область определения функции (D(f) = Ra).
Производную (f'(x)).
Стационарные точки (f'(x = 0)
Промежутки возрастания и убывания (методом интервалов).
Точки экстремума и значение функции в этих точках.
а) Точки пересечения с осью Ох (если возможно);
б) несколько дополнительных точек графика (для более точного построения).
- А сейчас проведем аукцион понимания графиков.
Дома. Закончить задания
Построить график функции:
a)у= 3х +1/3х б) у = 2 + 3х - х3.
Задание 9. Назовите как можно больше свойств функции, график которой изображен.
(На экран по очереди проецируются графики функций на компьютере. Студенты дают ответы. Каждый правильный ответ оценивается 1 баллом, а самый последний - 3 баллами. Студенты, набравшие наибольшее количество баллов, получают оценку «5».)
а)
Свойства:
убывает;
возрастает;
точки минимума;
точки максимума;
точки перегиба;
четность (нечетность);
область определения;
область значений;
точки пересечения с Ох;
точки пересечения с Оу;
симметричность графика функции;
функция принимает положительные значения;
функция принимает отрицательные значения;
наибольшее значение функции;
наименьшее значение функции.
Домашнее задание
Задание 10.
Построить график функции:
a)у= = 3х +1/3х
б) у = хех;
в) у = 2 + Зх - х3.
Приложение
Решения Задание 7.
а) Решение.
1. D(f) = R.
2. Функция у(-х) = 6(-х)4 -4(-х)6 = 6х4 -4х6 = у(х) четная, гра-
фик симметричен относительно Оу.
Исследуем на (0; +∞),
3. Находим производную у' =24х3 -24х5.
4.Находим критические точки: у' = 0, 24х3(1 –х2) = 0, х1= 0,
х2,3=±1.
5. Промежутки возрастания и убывания.
| X | 0 | (0; 1) | 1 | (l;+∞) |
| f'(x | 0 | + | 0 | - |
| f(x) | 0 | ↑ | 2 |
|
| Экстремум | min |
| max |
|
График
б) Решение.
D(ƒ)= R.
Функция у(-х) = 1/10(-х)5 – 5/6(-х') + 2(-х) = -1/10х5 + 5/6х3 -
-2х = -у(х) нечетная, график симметричен относительно начала координат. Исследуем на (0; +∞).
Находим производную f'(x) = ½ х4-5/2х2 +2.
Находим критические точки: f'(x = 0, х4 -5х2 + 4 = = (х2 - 4)(х2 - I) = (х - 2)(х + 2)(х - 1)(х +1) = 0,
Х1= +2, х2=-2, х3=+1, х4 =-1
| X | 0 | (0; 1) | 1 | (1;2) | 2 | (2; ∞+) |
| f'(x) | 2 | + | 0 | - | 0 | + |
| f(x) | 0 | ↑ | 19/ 15 |
| 8/ 15 | ↑ |
| Экстремум |
|
| max |
| min |
|
График
В)Решение
Находим производную у' = -Зх2 +8х-4.
Находим критические точки: у' = 0, -Зх2 + 8х - 4 =
= -(Зх-2)(х-2) = 0, х1=2, х2 =2/3.
5. Знаки производной.
6. Промежутки возрастания и убывания.
| X | (-∞,2/3) | 2/ 3 | (2/3, 2)
| 2 | (2; +∞) |
| f'(x) | - | 0 | + | 0 | - |
| f(x) |
| 32 27 | ↑ | 0 |
|
| Экстремум |
| min |
| max |
|
.
Задание 8.
а) Решение.
D(y) = R.
Находим производную у' = 15х2 -15х4.
Находим критические точки: у' = 0, 15х2(1 -х2) = 0, х1=0,х2=+1,х3=-1
Знаки производной.
5.Промежутки возрастания и убывания.
| X | (-∞-1) | -1 | (1;0) | 0 | (0;1) | 1 | (1; +∞) |
| У' | - | 0 | + | 0 | + | 0 | - |
| У |
| 0 | ↑ | 2 | ↑ | 4 |
|
|
|
| min |
| Точка перегиба |
| max |
|
|
|
| |
| |
| |
|
б) Решение.
D(y) = R.
Находим производную у' = 20х4 -20х3.
Находим критические точки: у' = 0, 20х3(х-1) = 0,
X1=0 х2=1
4. Знаки производной.
5. Промежутки возрастания и убывания.
| X | (∞,0) | 0 | (0;1) | 1 | (1;+ ∞) |
| / У | + | 0 | - | 0 | + |
| у | ↑ | 0 |
| -1 | ↑ |
|
|
| max |
| min |
|
в) Решение.
D(y) = R.
2. Функция у(-х) = 3(-х)5 -5(-х)3 = -Зх5 +5х3 = -(Зх5 -5х3) не-
четная, график функции симметричен относительно начала коор-
динат. Исследуем функцию на (0; +оо).
3. Находим производную у' = 15х4 - 15х2 = 15х2(х2 -1).
Находим критические точки: у' = 0, 15х2(х2 -1) = 0, х, =0, х2,3 =±1.
Знаки производной.
+ - - +
______________________________________________
-1 0 1 х
6. Промежутки возрастания и убывания.
| X | 0 | (0;1) | 1 | (1;+ ∞) |
| у' | 0 | - | 0 | + |
| У | 0 |
| -2 | ↑ |
|
| Точка перегиба |
| min |
|
Вебинар для учителей
Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!
