Производная и ее применение

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего образования

«Хакасский государственный университет

им. Н.Ф. Катанова»

Институт естественных наук и математики

Кафедра математики и методики преподавания математики

Направление подготовки «44.04.01 – Педагогическое образование.

Магистерская программа: Физико-математическое образование»

«Производная и ее применение»

Программа элективного курса для обучающихся 10-11 классов

Составитель: Богачёва Мария Евгеньевна

Студентка группы: ФМО-41

Научный руководитель:

Канд. пед. наук, доцент,
заве. кафедрой математики и методики преподавания математики

Михалкина Е. А.

Абакан , 2018

Пояснительная записка

Элективный курс «Производная и ее применение» рассчитан на учащихся 10-11 классов (профильных классов).

Рассчитан на 16 часов .Система оценивания – зачетная. В конце разделов учащимся предлагаются задачи для самостоятельного решения, а итоговым контролем курса является проектно-исследовательская работа учащихся выбранный ими из предложенных тем (не возбраняется, если ученики сами предложат темы проектов).

Производная – одно из важнейших понятий математического анализа, дающее возможность более эффективно решать многие задачи повышенной сложности, требует от учащихся нетрадиционного мышления. Следует отметить, что знание нестандартных методов и приемов решения задач способствует развитию нового, нешаблонного мышления, которое можно успешно применять также и в других сферах человеческой деятельности. В физике для нахождения скорости по известной функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости от времени; для нахождения наибольших и наименьших величин. В экономике является важнейшим инструментом экономического анализа, позволяющим углубить геометрический и математический смысл экономических понятий, а также выразить ряд экономических законов с помощью математических формул. Наиболее актуально использование производной в предельном анализе, то есть при исследовании предельных величин (предельные издержки, предельная выручка, предельная производительность труда или других факторов производства и т.д.).

Содержание элективного курса «Производная и ее применение» есть тема «Производные высших порядков», которые не изучаются в средней школе на уроках алгебры и началам математического анализа. Учащиеся на уроках элективного курса могут ознакомиться с этими темами, тем самым иметь более полное представление о производной.

Для многих задач элементарной математики допускается как «элементарное», так и «неэлементарное» решение. Применение производной дает как правило более эффективно решение. Появляется возможность оценить силу, красоту, общность нового математического аппарата.

Цели курса: Познакомить учащихся системой знаний по применению производной и показать широту применения данной темы.

Задачи курса:

1. показать физический и геометрический смысл производной для решения физических и геометрических задач;

2. показать применение производной для исследования функции и построения ее графика;

3. научить отыскивать наибольшие и наименьшие значение непрерывной функции на промежутке, решать задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин;

4. показать применение производных при решении уравнений и неравенств, доказательстве неравенств;

5. показать несколько примеров приложения методов математического анализа для решения широкого класса экономических задач.

Учащиеся должны знать:

1. физический и геометрический смысл производной;

2. таблицу производных;

3. правила и методы дифференцирования;

4. приложения производной;

5. метод исследования функций на экстремум;

6. общим метод решения задач на максимум и минимум.

Уметь:

1. применять эти знания в конкретных практических ситуациях;

2. вычислять производные высших порядков.

Содержание курса

Понятие о пределе функции в точке. Поведение функции на бесконечности. Асимптоты. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Сравнение бесконечно малых функций.

Непрерывность функции. Понятие о непрерывности функции. Односторонние пределы. Понятие о точках разрыва и их классификация.

Производная функции. Формулы производных элементарных функций. Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Вторая производная. Самостоятельная работа №1.

Физический и геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику. Самостоятельная работа №2.

Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Монотонность функции, точки экстремума и экстремумы функции (локальные экстремумы), выпуклости функции, точки перегиба, поведения функции на бесконечности. Общая схема исследования функции. Самостоятельная работа №3.

Наибольшие и наименьшие значение функции. Глобальный экстремум. Алгоритмический подход к нахождению наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке. Решение текстовых, физических и геометрических задач, нахождение наибольших и наименьших значений. Задачи на оптимизацию. Самостоятельная работа №4.

Использование производных при решении уравнений и неравенств, доказательстве неравенств. Самостоятельная работа №5.

Решение экономических задач с использованием производной.

Самостоятельная работа №6.

Итоговое занятие. Защита проектов.

Тематическое планирование материала

ПЕРЕЧЕНЬ ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алгебра и начала анализа для 9-10 классов / Под ред. А.Н. Колмогорова. – М.: Просвещение, 1986. – 336с.

2. Бродский Я.С., Слипенко А.К. Производная и интеграл в неравенствах, уравнениях, тождествах. – К., Выща школа, 1988. – 120с.

4. Дорофеев Г.М. Применение производных при решении задач в школьном курсе математики // Математика в школе. – 1980. – №5 – с. 12-21, №6 – с. 24-30.

1. И.А. Марон. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах (функции одной переменной): учебное пособие – М., 1973. – 400с.

2. Г.Н. Берман. Сборник задач по курсу математического анализа: учебное пособие – М., 1969. – 440с.

3. Н.А. Давыдов, П.П. Коровкин, В.Н. Никольский. Сборник задач по математическому анализу: учебное пособие – М., 1973. – 256с.