Разбор задания №18 ЕГЭ математика базового уровня

Виды неравенств и способы их решения

1. Линейные неравенства и системы неравенств

2. Квадратные неравенства

3. Неравенства высших степеней

4. Рациональные неравенства

5. Иррациональные неравенства

6. Показательные, логарифмические неравенства и системы неравенств

Виды неравенств

- Линейные

- Квадратные

_

+

+

Виды неравенств

- Рациональные

_

_

+

+

Виды неравенств

- Содержащие чётную степень

- Содержащие нечётную степень

Виды неравенств

- Иррациональные (корень чётной степени)

- Иррациональные (корень нечётной степени)

Виды неравенств

- Показательные

Виды неравенств

- Логарифмические

- Тригонометрические

Решаем неравенства, используя тригонометрическую окружность, либо с помощью графика соответствующей функции

Равносильность неравенств

• Перенос члена неравенства (с противоположным

знаком) из одной части неравенства в другую;

2. Умножение (деление) обеих частей неравенства

на положительное число;

3. Применение правил умножения многочленов и

формул сокращённого умножения;

4. Приведение подобных членов многочлена;

5. Возведение неравенства в нечётную степень;

6. Логарифмирование неравенства

т.е замена этого неравенства неравенством

Равносильность неравенств

на некотором множестве чисел

• Возведение неравенства в чётную степень;
• Потенцирование неравенства;

3. Умножение обеих частей неравенства на функцию;

4. Применение некоторых формул (логарифмических, тригонометрических и др.)

Методы решения неравенств

функциональный

алгебраический

графический

геометрический

Алгебраические методы

решения неравенств

• Сведение неравенства к равносильной

системе или совокупности систем

• Метод замены

• Разбиение области определения

неравенства на подмножества

Алгоритм выполнения

1. Решаем по очереди каждое из неравенств (А–Г). При необходимости (для наглядности) отображаем полученное решение на координатной прямой.

2.Записываем результаты в форме, которая предложена в столбце «Решения». Находим соответствующие пары «буква–число».

А. 2 –х+1   –x+1   –1  → –x+1 2. Ответ: х ϵ (2; +∞). Получаем: А–3.

Б.  

Корни в данном случае – это х=4 и х=5. Имеем в виду, что неравенство строгое, т.е. значения корней в промежуток для ответа не включаем. В точке х=5 перехода знака не происходит, т.к. по условию (х–5) дано в квадрате. Поскольку нам нужен промежуток, где х

Соответственно, имеем: Б–4.

1 → log 4 x log 4 4 → x 4. Т.е.: х ϵ (4; +∞). Ответ: В–1. Г. (х–4)(х–2) Неравенство дано квадратное, его корни – х=2 и х=4. Для получения промежутков с положительными и отрицательными значениями схематически изображаем параболу, пересекающую координатную прямую в точках корней. Промежуток «внутри» параболы отрицательный, промежутки «вне» ее положительны. Т.к. в неравенстве дано « Ответ: Г–2. " width="640"

В. log 4 x 1 → log 4 x log 4 4 → x 4. Т.е.: х ϵ (4; +∞). Ответ: В–1.

Г. (х–4)(х–2)

Неравенство дано квадратное, его корни – х=2 и х=4. Для получения промежутков с положительными и отрицательными значениями схематически изображаем параболу, пересекающую координатную прямую в точках корней. Промежуток «внутри» параболы отрицательный, промежутки «вне» ее положительны. Т.к. в неравенстве дано «

Ответ: Г–2.

0 →  x   1. Объединяем полученный промежуток с ОДЗ, получаем: x ϵ (1; 3). Это соответствует решению №3. Ответ:  А–3 . ОДЗ не дает ограничений Тогда в результате имеем: х ϵ (1; +∞). Ответ:  Б–2 . Для решения требуется взять промежутки с положительным знаком. ОДЗ: х≠3. Получаем: х ϵ (1; 3)ᴗ(3; +∞). Ответ:  В–4 . х 2  – 4 х  + 3 0 → ( x –1)( x –3) 0. Применив метод интервалов, получим: ОДЗ не дает ограничений. Значит, х ϵ (–∞; 1)ᴗ(3; +∞). Ответ:  Г–1 . " width="640"

Алгоритм выполнения

• Решаем последовательно неравенства А–Г, учитывая ОДЗ.
• По результату (полученному простейшему неравенству) находим соответствующее графическое решение из правого столбца.