Развитие логического мышления учащихся на уроках математики в 5-6 классах (методические рекомендации)

Развитие логического мышления учащихся на уроках математики

в 5-6 классах

Термин «логика» происходит от греческого слова «лотос», что означает «мыслить», «разум». Логика – есть наука о законах и формах правильного мышления. Она изучает формы рассуждений, отвлекаясь от конкретного содержания, устанавливает, что из чего следует, ищет ответ на вопрос: как мы рассуждаем? Основоположником логики как науки является древнегреческий философ и ученый Аристотель. Он впервые разработал теорию логического вывода.

«Математика — гимнастика для ума», - эта фраза была сказана не случайно. Именно на уроке математики ребёнок учится анализировать, сравнивать, обобщать, классифицировать, рассуждать, догадываться, опровергать.

Из курса дидактики известно, что деятельность может быть репродуктивной и продуктивной. Репродуктивная деятельность сводится к воспроизведению воспринимаемой информации. Лишь продуктивная деятельность связана с активной работой мышления и находит свое выражение в таких мыслительных операций, как анализ и синтез, сравнение, классификация и обобщение.

Математика является языком науки и техники. С её помощью моделируются и изучаются явления и процессы, происходящие в природе.

Арифметика является одним из опорных предметов основной школы: она обеспечивает изучение других дисциплин. В первую очередь это относится к предметам естественнонаучного цикла. Развитие логического мышления учащихся при обучении математике в 5 классе, а в дальнейшем и в 6 классе, способствует усвоению предметов гуманитарного цикла. Практические умения и навыки арифметического характера необходимы для трудовой и профессиональной подготовки школьников.

Развитие у учащихся правильных представлений о сущности и происхождении арифметических абстракций, о соотношении реального и идеального, о характере отражения математической наукой явлений и процессов реального мира, о месте арифметики в системе наук и роли математического моделирования в научном познании и в практике способствует формированию научного мировоззрения учащихся, а также формированию качеств мышления, необходимых для адаптации в современном информационном обществе.

Требуя от учащихся умственных и волевых усилий, концентрации внимании, активности воображения, арифметика развивает нравственные черты личности (настойчивость, целеустремленность, творческую активность, самостоятельность, ответственность, трудолюбие, дисциплину и критичность мышления) и умение аргументировано отстаивать свои взгляды и убеждения, а также способность принимать самостоятельные решения. Активное использование и решение текстовых задач на всех этапах учебного процесса развивают творческие способности школьников.

Изучение математики в 5 классе, а в дальнейшем и в 6 классе, позволяет формировать умения и навыки умственного труда: планирование своей работы, поиск рациональных путей её выполнения, критическую оценку результатов. В процессе изучения математики школьники учатся излагать свои мысли ясно и исчерпывающе, лаконично и емко, приобретают навыки чёткого, аккуратного и грамотного выполнения математических записей.

Важнейшей задачей школьного курса арифметики является развитие логического мышления учащихся. Сами объекты математических умозаключений и принятые в арифметике правила их конструирования способствуют формировании, умений обосновывать и доказывать суждения, приводить чёткие определения, развивают логическую интуицию, кратко и наглядно раскрывают механизм логических построений и учат их применению. Показывая внутреннюю гармонию математики, формируя понимание красоты и изящества математических рассуждений, арифметика вносит значительный вклад в эстетическое воспитание учащихся.

Для развития логического мышления на уроках математики нужно использовать следующие виды заданий:

I. Задания на выполнение семантического и математического анализа задач.

1. Установление соответствия между содержанием задачи и любой формы интерпретации и наоборот.

2. Выбор среди нескольких данных задач (на данной странице, карточке) той, которая соответствует данной интерпретации.

3. Выбор среди нескольких данных интерпретаций той, которая соответствует данной задаче.

4. Нахождение ошибок в данной интерпретации, построенной к данной задаче.

5. Выбор среди данных задач задачи определённого вида.

6. Классификация простых задач по действиям, с помощью которых они могут быть решены.

7. Выбор задач, ответ на которые может быть найден заданной последовательностью действий.

8. Выбор задач, при решении которых необходимо (или возможно) применить данные вычислительные приёмы.

9. Определение числа арифметических способов, которыми может быть решена данная задача.

10. Обнаружение ошибок в решении задач.

11. Определение смысла выражений, составленных из чисел, имеющихся в тексте (в том числе и не имеющих смысла).

12. Решение вспомогательной задачи или цепочки таких задач перед решением трудных.

13. Исключение из текста задач лишних данных, лишних условий.

14. Дополнение содержания задачи недостающими данными для решения.

15. Выбор среди нескольких данных задач (на данной странице, карточке) тех, которые ученик может решить устно (знает, как решить).

II. Выполнение части решении задачи.

Основные цели этого вида работы — формирование у учащихcя умения выполнять определённый этап решения, обучение общим приемам решения,

формирование представлений учащихся об арифметических действиях и т.д.

III. Виды дополнительной работы с уже решённой задачей.

1. Изменение условия задачи так, чтобы она решалась другим действием.

2. Постановка нового вопроса к уже решённой задаче, постановка всех вопросов, ответы на которые ещё можно найти по условию.

3. Сравнение содержания данной задачи и её решения с содержанием и решением другой задачи.

4. Решение задачи другим способом или с помощью других средств, других методов.

5. Изменение числовых данных задачи так, чтобы появился новый способ решения или, наоборот, чтобы один из способов стал невозможен.

IV. Способы проверки решения задачи.

1. Установление соответствия между числами, полученными в результате решения задачи и данными в условии задачи.

2. Составление и решение задачи, обратной данной.

3. Решение задачи различными способами.

4. Прикидка (грубая проверка).

V. Работа по преобразованию задач.

Очень важно учить детей понимать связи и отношения между данными и искомыми в задаче; видеть, как изменение числовых данных, вопроса, отношение между данными и искомыми влияет на решение или ответ задачи.

Виды заданий по преобразованию задач.

1. Изменение вопроса без изменения условий;

2. изменение числовых данных в условии задачи;

3. изменение отношений между данными и искомыми в задаче;

4. введение в условие задачи новых данных;

5. изменение вопроса задачи без изменения условий так, чтобы ход решения остался прежним, задачу можно было решить другим способом;

6. изменение числовых данных в условии задачи так, чтобы ход решения остался прежним, задачу можно было решить другим способом;

7. изменение вопроса задачи без изменения условий так, чтобы решение осталось прежним, изменилось.

VI. Решение обратных задач.

В эффективном логическом мышлении человека центральное место занимает закон обратной связи. Ценным средством в развитии мышления является решение обратной задачи, т.к. в данном случае участвуют в совокупности несколько видов мыслительных операций.

Каждое задание состоит, как правило, из трех пунктов:

• решить готовую задачу;

• составить и решить обратную;

• по возможности составить по аналогии новую задачу и решить её.

VII. Самостоятельное составление задач.

Самостоятельное составление задач тоже может осуществляться в разных видах работы, с разной степенью трудности, полноты.

Это:

1. Дополнение задачи недостающими данными;

2. Постановка вопроса к данному условию;

3. Сопоставление задачи по данной интерпретации;

4. Сопоставление задачи, аналогичной данной по способу решения (те же действия, в том же порядке), по сюжету, с такими же числовыми данными, но с другим решением. Аналогичной данной по количеству действий, по величинам, о которых идёт речь в задаче;

5. Дополнительные условия задачи сведениями, меняющими способ решения, но не меняющий результаты;

6. Составление и решение задачи, обратной данной;

7. Составление задачи по данной записи решения, по уравнению;

8. Устное сочинение «О чем может рассказать данное математическое выражение (7-2)».

Все эти изменения приводят к росту самостоятельности мышления детей. Параллельно с развитием самостоятельности мышления у ребенка развивается и речь, которая организует и уточняет мысль, позволяет выразить ее обобщенно, отделив важное от второстепенного.

Для осуществления формирования логического мышления учащихся 5-6 классов нужно включать развивающие задания такие, как:

• аналогия;

• исключение лишнего;

• «в худшем случае»;

• классификация;

• логические задачи;

• перебор;

• задачи с геометрическим содержанием;

• задачи «на переливание»;

• задачи-шутки;

• занимательные задания.

Эти задачи можно разделить на группы, учитывая их воздействие на мыслительную деятельность учащихся.

Формирование гибкости ума, освобождение мышления от шаблонов происходит при решении задач-шуток, занимательных заданий, задач на перебор вариантов, т.к. в большинстве своем эти задачи не привязаны к темам и не требуют особой теоретической подготовки.

Задачи на переливание, логические задачи, ребусы, задачи на классификацию учат школьников умению рассуждать, формируют математический стиль мышления, развивают логико-лингвистические способности детей, которые приводят к умению четко мыслить, полноценно логически рассуждать и ясно излагать свои мысли.

Задачи на аналогию и исключение лишнего используются для формирования умений поиска решения задач, интуиции, требуют знания теории и нешаблонного подхода к решению.

Задачи с геометрическим содержанием нацелены на знание геометрических фигур и их свойств как основы для формирования пространственных и изобразительных умений школьников, на расширение кругозора.

Система развивающих заданий

1)Аналогия

Аналогия – это сходство между объектами в некотором отношении. Использование аналогии в математике является одной из основ поиска решения задач. Задачи этой серии направлены на отработку таких познавательных приемов, как проведение словесных аналогий и нахождение аналогий между фигурами.

Например:

1.уменьшаемое – разность, множитель - …?

2.продолжите ряд: 1, 5, 13, 29, …

7, 19, 37, 61, …

2) Исключение лишнего

В каждой задаче этой серии указаны четыре объекта, из которых три в значительной мере сходны друг с другом, и только один отличается от всех остальных.

Например,

1.Сумма, разность, множитель, частное

2. 9; 12; 8; 15

3. см, дм, м², км.

3) В худшем случае

Это прием решения задачи, где для доказательства какого-либо утверждения можно рассмотреть самый неудобный, худший случай, в котором утверждение выполняется. Если мы докажем утверждение для худшего случая, то тем более оно будет верно и в остальных случаях. Главное – правильно определить этот худший случай.

Например:

1.В классе 37 человек. Докажите, что среди них найдутся четыре человека, родившиеся в один и тот же месяц.

2.Есть три ключа от трех замков. Какое наименьшее количество проб нужно осуществить, чтобы подобрать ключи к замкам?

4) Классификация

Классификация – это общепознавательный прием мышления, суть которого заключается в разбиении данного множества объектов на попарно непересекающиеся подмножества (классы). Число таких подмножеств, а также их состав зависит от основания классификации (т.е. признака, существенного для данных объектов), которое может принимать различные значения.

Например:

Что объединяет слова длина, площадь, масса? Какое слово к ним подходит: секунда, центнер, величина, метр?

5)Логические задачи

Логические задачи – это задачи, требующие умения проводить доказательные рассуждения, анализировать.

Например:

1.Ира, Даша, Коля и Митя собирали ягоды. Даша собрала ягод больше всех, Ира – не меньше всех. Верно ли, что девочки собрали ягод больше, чем мальчики?

2.Наташа произнесла истинное утверждение. Лена повторила его дословно и оно стало ложным. Что сказала Наташа?

6)Перебор

Сущность этого приема заключается в проведении организованного разбора и анализа всех случаев, которые потенциально возможны в ситуации, описанной в задаче.

Например:

1. Сколько имеется двузначных чисел, у которых среди цифр есть хотя бы одна пятерка?

2. В числе 48352 зачеркните такие две цифры, чтобы число, образованное оставшимися цифрами в том же порядке было наибольшим (наименьшим).

7) Задачи с геометрическим содержанием

1.Нарисуйте два треугольника так, чтобы их общей частью были: а) шестиугольник; б) пятиугольник; в) четырехугольник; г) отрезок; д) точка.

2.Разрезать квадрат на две равные фигуры (10 способов).

3.Деревянный куб покрасили со всех сторон, потом распилили на 27 одинаковых кубиков. Сколько кубиков имеют 3 окрашенные грани, 2 окрашенные грани? Сколько кубиков не окрашено?

8) Задачи на переливание

1.В первый сосуд входит 10 литров воды. Как, используя еще два пустых сосуда по 5 и 7 литров, разделить воду на две части?

2. Восьмилитровый бидон наполнен водой. Как с помощью трехлитровой и пятилитровой банок отлить 1л воды?

9) Задачи-шутки

1.Гусь стоит 20 рублей и еще половину того, сколько он на самом деле стоит. Сколько стоит гусь?

2.Сколько концов у двух палок, у трех палок, у пяти с половиной палок?

3.Какой математический знак нужно поставить между 5 и 6, чтобы полученное число было больше 5, но меньше 6?

4.Один поезд отправляется из Москвы в Пермь, одновременно с ним выходит поезд из Перми в Москву, скорость которого в два раза больше. Какой из поездов в момент встречи будет находиться дальше от Москвы?

5.Крышка стола имеет 4 угла. Один угол отпилили. Сколько углов осталось?

10) Занимательные задачи

1.Чему равно произведение -109*(-108)*…107*108?

2.Чему равна сумма -65+ (-64)+(-63)+…+64+65+66?

3.Вдоль всей траектории забега поставили 15 столбов. После начала забега спортсмен был у третьего столба через три минуты. За сколько минут он пробежит весь путь? (Скорость спортсмена считать постоянной).