Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
Средняя общеобразовательная школа №5 г.Углегорска
Сахалинской области
« Решение тригонометрических уравнений»
10 класс
Автор разработки:
учитель математики Чернова Людмила Васильевна.
г.Углегорск
Цели урока:
Образовательные:
- актуализировать знания учащихся по теме «Решение тригонометрических уравнений» и обеспечить их применение при решении задач вариантов ЕГЭ;
- рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений;
- закрепить навыки решения тригонометрических уравнений;
Развивающие:
- содействовать развитию у учащихся мыслительных операций: умение анализировать, синтезировать, сравнивать;
- формировать и развивать общеучебные умения и навыки: обобщение, поиск способов решения;
- отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений, выбора задания, соответствующего их уровню развития.
Воспитательные:
- вырабатывать внимание, самостоятельность при работе на уроке;
- способствовать формированию активности и настойчивости, максимальной работоспособности.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний
Оборудование: компьютер и мультимедийный проектор, раздаточный материал.
Структура урока:
1. Вводно-мотивационная часть.
1.1. Организационный момент.
1.2. Устная работа.
2. Основная часть урока.
2.1. Повторение (чередование фронтальной и индивидуальной форм работы с последующей проверкой задания).
3. Рефлексивно-оценочная часть урока.
3.1. Обсуждение результатов индивидуальной работы.
3.2. Информация о домашнем задании.
3.3. Подведение итогов урока.
Ход урока.
1. Вводно-мотивационная часть
1. Приветствие.
Учитель: Здравствуйте, садитесь! Сегодня мы проводим урок обобщения по теме «Решения тригонометрических уравнений». Задания по решению тригонометрических уравнений встречаются в вариантах ЕГЭ.
2. Проверка готовности учащихся к уроку.
3. Озвучивание целей урока и плана его проведения.
Учитель: Тема нашего урока – решение тригонометрических уравнений. Я думаю, вам будет интересно на уроке.
Цель урока сегодня - рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений; закрепить навыки и проверить умение решать тригонометрические уравнения.
В начале урока мы вспомним основные формулы тригонометрии.
Далее работа будет чередоваться: мы повторим числовые значения тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций, вспомним формулы решения простейших тригонометрических уравнений. Решим тригонометрические уравнения по известным алгоритмам, однородные тригонометрические уравнения, уравнения вида
A sinx + В cosx = С. После каждого блока заданий проводим разноуровневые проверочные работы, задания которых вы будете выбирать самостоятельно, учитывая свои знания, умения и навыки. Проверяем решения, и вы выставляете себе оценку за каждый вид заданий.
Обсудим полученные результаты работы на уроке, оценим индивидуальную работу. Затем получите инструктаж по выполнению домашнего задания и подведем итоги урока.
1.2. Устная работа.
Учитель: Первое задание – используя основные формулы тригонометрии, упростите выражение:(слайд№2)
На экране проецируется задание, затем появляются ответы
А) (sin a – 1) (sin a + 1) Б) sin2 a – 1 + cos2 a В) sin2 a + tg a ctg a + cos2 a Г) √1- 2 tgх + tg2 х | Ответы - cos2 a 0 2 |1- tg х| |
2. Основная часть урока.
2.1. Повторение (чередование фронтальной и индивидуальной форм работы с последующей проверкой задания).
Учитель: Ребята, давайте вспомним свойства четности и нечетности тригонометрических функций, значения тригонометрических функций для различных углов поворота, применение формул приведения
Учащиеся формулируют свойства четности и нечетности, правило применения формул приведения, называют значения тригонометрических функций для различных углов поворота.
Учитель: А теперь выполним самостоятельную работу. Работа предлагается в 2 вариантах, после чего проверим правильность ее выполнения.
Найдите значения тригонометрических выражений:(слайд№4)
На экране проецируется задание.
1 вариант | 2 вариант |
sin (-π/3) cos 2π/3 tg π/6 ctg π/4 cos (-π/6) | Ответы - √3/2 - 1/2 √3/3 1 √3/2 | cos (-π/4 ) sin π/3 ctg π/6 tg π/4 sin (-π/6) | Ответы √2/2 √3/2 √3 1 - 1/2 |
Учитель: Ребята, проверьте ответы и оцените свои работы согласно шкале:
количество верных ответов | оценка |
5 | 5 |
4 | 4 |
3 | 3 |
3 | 2 |
На экране проецируются ответы
Учитель: А теперь вспомним определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.
Учащиеся дают определения обратных тригонометрических функций, обращая внимание на область определения и множество значений.
Учитель: Выполняем следующую работу также самостоятельно. Вычислите:(слайд№5)
На экране проецируется задание.
1 вариант | 2 вариант |
arcsin √2/2 arccos 1 arcsin (- 1/2 ) arccos (- √3/2) arctg √3 | Ответы π/4 0 - π/6 5π/6 π/3 | arccos √2/2 arcsin 1 arccos (- 1/2) arcsin (- √3/2) arctg √3/3 | Ответы π/4 π/2 2π/3 - π/3 π/6 |
Учитель: Ребята, проверьте ответы и оцените свои работы согласно шкале:
На экране проецируются ответы
Учитель: Ребята, а теперь перейдем к решению простейших тригонометрических уравнений. Напомните, пожалуйста, формулы решения уравнений вида sinx =а, cosx = а, tg х=а, сtg x=a .(слайд№3)
Учащиеся называют формулы решения уравнений
sinx =а | х = (-1)k arcsin а + π k, k Z |
cosx = а | х = ± arccos а + 2 π k, k Z |
tg х = а | х = arctg а + π k, k Z. |
сtg x=a | X=arcctg a+ πk, k |
Учитель: Рассмотрим основные методы решения тригонометрических уравнений.
А) Решение тригонометрических уравнений по известным алгоритмам.
а) тригонометрические уравнения, приводимые к линейным или квадратным:
A sin2 х + В sin х + С =0 или
A sin2 х + В cos х + С =0
Решим уравнение:
sin2 х + 5 sin х - 6 =0.
Учащиеся решают уравнение, вводят замену sin х = z, решая квадратное уравнение
z2 + 5 z - 6 = 0, находят z1 = 1; z2 = -6
Решением уравнения sin х = 1 являются числа вида х = π/2 +2 π k, k Z.
Уравнение sin х = - 6 не имеет решения, так как -6 не принадлежит Е ( sin х ),
т.е. -6 не принадлежит [-1; 1]
Учитель: При решении уравнения вида A sin2 х + В cos х + С =0 вводим замену sin2 х = 1 - cos2 х, а затем решаем уравнение способом, аналогичным предыдущему.
Решите уравнение 2 sin2 х + 3 cos х -3 =0.
Учащиеся решают уравнение, вводят замену sin2 х = 1 - cos2 х, получили
2 (1 - cos2 х) +3 cos х -3 =0.
- 2 cos2 х + 3 cos х - 1 = 0 | (-1)
2 cos2 х - 3 cos х + 1 = 0
Замена cos х= t
Решая квадратное уравнение 2 t 2 - 3t +1 = 0,
находят t1 = 1; t2 = 0,5
Решением уравнения cos х = 1 являются числа вида х = 2 π k, k Z.
Решением уравнение cos х = 0,5 являются числа вида х = ± arccos 0,5+ 2π n, n Z.
Учитель: А теперь выберите одно из предложенных уравнений и самостоятельно решите его.
Таблица№1(листы лежат на партах)
На оценку | 1 вариант | 2 вариант |
«3» «4» «5» | 2 cos2х + 5 sin х - 4=0 cos 2х + cos х =0 √2 sin (x/2) + 1 = cos х | Ответы (-1)k π/6 + πk, k Z π + 2πk, k Z ± π/3 + 2 πn, n Z 2 πk, k Z (-1)k π/2+2πn,n Z | 3 sin x - 2 cos2x =0 cos 2x + sin x =0 √2cos(x/2) + 1=cos x | Ответы (-1)k π/6 + πk, k Z π/2 + 2πk, k Z (-1)k+1 π/6 + πn, n Z π + 2πk, k Z ± π/2 + 4πn, n Z |
Учитель: Ребята, проверьте свое решение с ответами
На экране проецируются ответы
Физкультминутка.
Учитель: Ребята, а сейчас давайте немного отдохнем. Для этого я предлагаю выполнить несколько упражнений. (Видеоролик с зарядкой)
Учитель: Ну вот, немного отдохнули, теперь продолжим вспоминать основные методы решения тригонометрических уравнений.
б) однородные тригонометрические уравнения.
Рассмотрим самое простое однородное тригонометрическое уравнение первой степени: A sin x+ B cos x = 0. Разделив обе части уравнения на cos x ≠ 0, получим уравнение вида tg x = С.
Решите уравнение 2 sin x+ 3 cos x = 0.
Учащиеся решают уравнение.
2 sin x+ 3 cos x = 0 | : cos x ≠ 0
2 tg x + 3 =0
tg x = -1,5
х= arctg (-1,5) + πk, k Z или х = - arctg 1,5 + πk, k Z
Учитель: Теперь рассмотрим однородное тригонометрическое уравнение второго порядка: А sin2 х + В sinх cos х + С cos2х = 0. Разделив обе части уравнения на cos2 x ≠ 0, получим уравнение вида А tg 2x + В tg x + С = 0. Такого вида уравнения мы уже рассматривали.
Решите уравнение 2 sin2 х - 3 sinх cos х - 5 cos2х =0
Учащиеся решают уравнение 2 sin2 х - 3 sinх cos х - 5 cos2х =0
2 sin2 х - 3 sinх cos х - 5 cos2х =0 | : cos2х ≠ 0
2 tg 2x - 3 tg x - 5 = 0
замена tg x = t
2 t2 – 3 t – 5 =0
t1 = -1; t2 = 2,5
Решением уравнения tg х = -1 являются числа вида х = -π/2 + πk , k Z.
Решением уравнение tg х = 2,5 являются числа вида х = arctg 2,5+ πn, n Z.
Учитель: К однородным уравнениям после применения формул тригонометрии могут быть сведены различные тригонометрические уравнения, которые первоначально не были однородными.
Рассмотрим уравнение: А sin2 х + В sinх cos х + С cos2х = D, преобразуем данное уравнение А sin2 х + В sinх cos х + С cos2х =D (sin2 х + cos2х)
или (А –D) sin2 х + В sinх cos х + (С-D) cos2х =0.
Выберите два уравнения и самостоятельно решите их.
Таблица №2(листы лежат на партах)
На оценку | 1 вариант | 2 вариант |
«3» «4» «5» | 3 sin x+ 5 cos x = 0 5 sin2 х - 3 sinх cos х - 2 cos2х =0 3 cos2х + 2 sin х cos х =0 5 sin2 х + 2 sinх cos х - cos2х =1 2 sin x - 5 cos x = 3 1- 4 sin 2x + 6 cos2х = 0 | 2 cos x+ 3 sin x = 0 6 sin2 х - 5 sinх cos х + cos2х =0 2 sin2 x – sin x cosx =0 4 sin2 х - 2sinх cos х - 4 cos2х =1 2 sin x - 3 cos x = 4 2 sin2 х - 2sin 2х +1 =0 |
Учитель: Ребята, проверьте свое решение с ответами.
На экране проецируются ответы
| 1 вариант | 2 вариант |
«3» «4» «5» | - arctg 5/3+ πk, k Z. π/4 + πk; - arctg 0,4 + πn, k, n Z. π/2 + πk; - arctg 1,5 + πn, k, n Z. π/4 + πk; - arctg 0,5 + πn, k, n Z. arctg ( - 1 ± √5) + πk, k Z. π/4 + πk; arctg 7 + πn, k, n Z. | - arctg 2/3+ πk, k Z. arctg 1/3+ πk; arctg 0,5 + πn, k, n Z. πk; arctg 0,5 + πn, k, n Z. -π/4 + πk; - arctg 5/3 + πn, k, n Z. arctg ( 2 ± √11) + πk, k Z. π/4 + πk; arctg 1/3 + πn, k, n Z. |
Учащиеся решают уравнение, консультируются у учителя в случае возникновения затруднений.
Учитель: А теперь сверьте свои ответы с ответами соседа. Сверили. Молодцы!
3. Рефлексивно-оценочная часть урока.
3.1. Обсуждение результатов индивидуальной работы.
Учитель: А теперь вы оцените свою работу на уроке. Вы самостоятельно выполнили упражнений:
1 – находили значения тригонометрических функций;
2 – находили значения обратных тригонометрических функций;
3 – решение уравнений по известным алгоритмам;
4 – решение однородных тригонометрических уравнений;
Найдите среднее арифметическое всех выставленных оценок, округлите результат, и эти оценки я вам выставляю в журнал.
3.2. Информация о домашнем задании.
Учитель: Для закрепления навыков решения тригонометрических уравнений новыми способами я предлагаю вам выполнить домашнее задание следующего содержания( учитель комментирует домашнее задание)
3.3. Подведение итогов урока.
Учитель: Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы вспомнили числовые значения тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций, вспомнили формулы решения простейших тригонометрических уравнений, рассмотрели общие подходы решения тригонометрических уравнений, закрепили навыки и проверили умения решать тригонометрические уравнения.
Я думаю, что у вас сложилось более полное представление о тригонометрических уравнениях и разнообразии способов их решения. И у меня появилась уверенность, что с решением тригонометрических уравнений большинство из вас справится.
Фронтальным опросом вместе с учащимися подводятся итоги урока(слайдРефлексия)
- Что нового узнали на уроке?
- Испытывали ли вы затруднения при выполнении самостоятельной работы?
- Испытывали ли вы затруднения при выборе самостоятельной работы?
- Какие из способов решения тригонометрических уравнений из рассмотренных оказались наиболее трудными?
- Какие пробелы в знаниях выявились на уроке?
- Какие проблемы у вас возникли по окончании урока?
Учитель: Дорогое ребята! Спасибо вам за работу на уроке. Я благодарю всех, кто принял активное участие в работе.
Список литература:
Ананьев Ю.А., Дворянинов С.В., Неценко Ю. Н. «Экзаменационные задачи по алгебре и началам анализа за курс средней школы». Самара, СОИПКПРО, 1993
Блошкин Б.Ф. «Самостоятельные и контрольные работы по математике 9-10 классы». М., Просвещение 1969
Богомолов И.В., Сергиенко Л.Ю. «Сборник дидактических заданий по математике. М., Высшая школа, 1986
Зильберберг Н.И. «Алгебра и начала анализа в 10 классе» (для углубленного изучения математики) Псков, ПОИПКРО, 1994
Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я. «Контрольные и проверочные работы по алгебре 10-11 классы» М., Дрофа, 2001
Ивлев Б.М. «Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа». М., Просвещение, 1990
Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. «Дидактические материалы по алгебре и началам анализа. 10 класс». М., Просвещение, 1997
Кононов А.Я. «Устные занятия по математике в старших классах» М., Столетие, 1997
Краснова Л.Г., Матвеева Е.Д., Степанова М.И. «Сборник контрольных заданий» Чувашия, РИПКРНО, 1983
Мордкович А.Г. «Алгебра и начала анализа 10-11 класс» М., Мнемозина, 2001
Самусенко А.В. «Математика: типичные ошибки абитуриентов» Минск, Высшая школа, 1995
Щукина В. «Репетитор. Математика. Физика» М., НПО Перспектива, 1993
http://www.falto.ru/article/article4_1.html
8