Степени и логарифм числа

3. Функция не имеет нулей = точек пересечения с Ох нет.

Точка пересечения с Оу(0;1) , т. к. .

4. Функция положительна при любом значении .

При х 1; при x0 y

5. Функция убывает на всей своей D (у).

6. и не принимает.

3. Функция не имеет нулей = точек пересечения с Ох нет.

Точка пересечения с Оу (0; 1 ), т. к.

4. Функция положительна при любом значении .

При х 0 y1.

5.Функция возрастает на всей своей D (у).

6. и не принимает.

График показательной функции

Показательные уравнения

Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестная содержится только в показателе степени при некоторых постоянных основаниях.

Простейшим показательным уравнением является уравнение вида :

где a и b – некоторые положительные числа (а 1), а х – некоторое алгебраическое выражение.

Способы решения некоторых простейших показательных уравнений

1. , где ,

2.

3.

Для решения этого уравнения необходимо правую и левую часть привести к одному основанию. Далее идет решение, как в уравнение второго вида.

4.

5.

Производим замену : ,

6.

Решать сведением к квадратному уравнению

7.

Однородное уравнение второго порядка

Примеры

1. ,

Ответ :

Примеры

2.

Ответ : x=1

Примеры

3. а)

Ответ :

б)

Прологарифмируем данное уравнение :

Ответ :

Примеры

4. а)

Ответ :

б)

Ответ:

Примеры

5.

Примеры

6.

Примеры

7.

т.к. и не является корнем уравнения, то разделим на это выражение:

производим замену ,

0 = " width="640"

не удовлетворяет условию у 0 =

Способы решения показательных неравенств

1. а)

б)

2.

3.

1) , то последнее неравенство равносильно: X 4 Ответ: " width="640"

Примеры

1. а)

т.к. монотонно возрастает (3 1) , то последнее неравенство равносильно:

X 4

Ответ:

1. б)

функция монотонно убывает , то последнее неравенство равносильно:

Примеры

2.

выносим с наименьшей степенью:

т. к. - функция монотонно возрастает, то последнее неравенство равносильно неравенству:

Ответ:

Примеры

3.

производим замену:

Обратная замена:

Свойства степени

Логарифмическая функция

Функцию, обратную показательной функции , называют логарифмической и обозначают:

1 0 4) 5) Функция возрастает на всей своей области определения при а 1, функция убывает при 0 6) y(min) и y(max) не принимает. " width="640"

Свойства логарифмической функции

1)

уравнение вертикальной асимптоты

2)Функция не является четной и не является нечетной и

;функция непериодична

x= 1- нуль функции;

(1;0)- точка пересечения;

Точек пересечения с Оу нет.

3)

Промежутки знакопостоянства

а 1 0

4)

5)

Функция возрастает на всей своей области определения при а 1, функция убывает при 0

6)

y(min) и y(max) не принимает.

График

Логарифмические уравнения

• Простейшие логарифмические уравнения
• Уравнения типа
• Уравнения первой степени относительно log
• Уравнение второй и высшей степени относительно log
• Уравнения на применение
• Уравнения, на применение формулы к другому основанию
• Уравнения, содержащие выражения вида
• Однородные уравнения

1.

2.

3.

Производим замену:

4.

Произведем замену :

5.

,

,

,

6.

7.

Ответ:

8.

т.к. не является корнем данного уравнения, то разделим обе части уравнения на :

- не удовлетворяет ОДЗ

- не удовлетворяет ОДЗ

Свойства логарифмов

Если

то

Способы решения логарифмических неравенств

m,n,c -данное число

m,n,c -данное число

m,n,c -данное число

0 , то последнее неравенство равносильно системе неравенств : Ответ :x " width="640"

1)

Т.к.

функция монотонно убывающая на всей своей области

определения и 2 x+590 , то последнее неравенство равносильно

системе неравенств :

Ответ :x

2))

Учитывая область определения функции y=

и ее монотонное

возрастание заменим неравенство равносильной ему системой :

-7

-2

3

8

Ответ :

3)

Т.к. функция возрастает и учитывая область допустимых значений,

сделаем вывод, последнее неравенство равносильно совокупности

двух систем :

Ответ :