Теория вероятностей и элементы комбинаторики

Теория вероятностей и элементы комбинаторики

Первые научные работы по теории вероятностей появились в XVII веке когда такие ученые, как Б. Паскаль и П. Ферма открыли некоторые закономерности, возникающие при бросании костей.

Советские и русские ученые также принимали участие в развитии этого раздела математики: П.Л. Чебышев, А.А. Марков, А.М. Ляпунов, А.Н. Колмогоров.

Комбинаторика

Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Термин "комбинаторика" был введён знаменитым Готфридом Вильгельмом Лейбницем, - всемирно известным немецким учёным.

Комбинаторные методы лежат в основе решения многих задач теории вероятностей.

1. Перестановки

Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке.

Пример : сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 5, 7 (каждая цифра используется один раз) ?

Решение : P 3 =3!=6

Задача 1 . Сколькими способами можно расставить на полке 12 книг, из которых 5 книг – сборники стихов, так, чтобы сборники стихов стояли рядом и в произвольном порядке ?

Решение:

Примем сборники стихов за одну книгу, тогда n =12-5+1=8, следовательно, комбинаций – P 8 , но в каждой из полученных комбинаций можно выполнить P 5 перестановок сборников стихов :

P 8 * P 5 = 8!*5!=4838400 способов.

2. Размещения

Размещением из n элементов по k ( k ≤n) называется любое множество, состоящее из k элементов, взятых в определенном порядке из данных n элементов .

Пример : сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различны и первая цифра отлична от нуля ?

Решение : всего существует 10 цифр

, но т. к. первая

цифра отлична от нуля, то

3.Сочетания

Сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов.

Пример: сколькими способами можно составить букет из трех гвоздик при наличии пяти различных цветов?

Решение:

Задача1 . В классе 20 учеников, каждый из которых дружит ровно с шестью одноклассниками. Найдите число таких различных компаний из трех учеников, что в них либо все школьники дружат друг с другом, либо каждый не дружит ни с одним из двух оставшихся.

Решение:

Общее число различных троек .Найдем число троек, не удовлетворяющих условию задачи.

Рассмотрим упорядоченные тройки учеников (a, b , c ), такие что: a дружит с b , а b не дружит с c . Всего такие тройки можно описать двумя способами, поэтому число таких троек равно 2X.

Найдем число упорядоченных троек. Для каждого из учеников высчитаем число таких троек, в которых он занимает центральное положение: (20-6-1)*6=78.

Таким образом, общее число упорядоченных троек:

2X=78*20;

X=780.

Искомое число равно 1140-780=360.

Теория вероятностей

1. Классический подход.

Вероятностью события А называется отношение числа m элементарных исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу элементарных исходов испытания n .

2. Статистический подход.

Для вычисления вероятности путем статистического исследования необходимо провести большое число опытов.

При многократном повторении опыта частота события принимает значения, близкие к некоторому постоянному числу. Так, проводились опыты бросания однородной монеты, в которых подсчитывали число появления «герба», и каждый раз, когда число опытов достаточно велико, частота события «выпадения герба» незначительно отличалась от

Экспериментатор

Число бросаний

Ж. Бюффон

В.И.Романовский

Число выпадений герба

4040

К. Пирсон

Частота

2048

80640

0,5080

39699

24000

0,4923

12012

0,5006

1. В урне 3 белых и 9 черных шаров. Из урны наугад вынимается 1 шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется черным?

Решение:

Количество всех возможных результатов n=3+9=12.

Опытов, в результате которых может быть вынут черный шар m=9.

Парадокс закономерности

Большинство людей, увидев явную закономерность в результатах серии испытаний, будут склонны считать, что испытания не являются случайными.

00111100000100110100000111010111101000111101011010

00000000000000000000000000000000000000000000000000