Возможности системы Geogebra для проверки гипотез и доказательства теорем

Возможности системы Geogebra для проверки гипотез и доказательства теорем

Обучение математике было и остается непростым делом. Сегодня верным помощником учеников и учителей в процессе обучения не только математики, но и других предметов, стал компьютер. Он просто творит чудеса, используя свои огромные возможности.

На сегодняшний день создано множество различных обучающих программ.

Система GeoGebra

Система GeoGebra – свободно-распространяемая динамическая геометрическая среда, которая дает возможность создавать чертежи в планиметрии, в частности, для построений с помощью циркуля и линейки.

Система GeoGebra поможет учителям для объяснения, а школьникам в ознакомлении с учебными материалами не только курса геометрии, но и алгебры, математического анализа, будет незаменима для формирования навыков наглядного представления геометрических ситуаций.

Систему можно использовать для построения линий:

 построение графиков функций y = f (x);

 построение конических сечений:

 коника произвольного вида — по пяти точкам.

 окружность по центру и точке на ней, по центру и радиусу, по трем точкам;

 эллипс – по двум фокусам и точке на кривой;

 парабола – по фокусу и директрисе;

 гипербола – по двум фокусам и точке на кривой.

Кроме графических действий в системе могут быть выполнены вычисления:

 действия с матрицами: сложение, умножение; транспонирование, инвертирование; вычисление определителя;

 вычисления с комплексными числами;

 нахождение точек пересечения кривых;

 статистические функции:

 вычисление математического ожидания, дисперсии;

 вычисление коэффициента корреляции;

 аппроксимация множества точек кривой заданного вида: полином; экспонента; логарифм; синусоида.

Понятие «доказательство» раскрывается в учебной литературе по математике, логике, методологии математики с разных точек зрения: целей использования, мотивов обращения, методов и требований.

Теоремы и их доказательства составляют основу геометрии. Трудности, возникающие при их изучении, связаны с неочевидностью утверждений многих теорем и высокой долей абстракции их доказательств.

Нередко обучающиеся просто выучивают формулировки теорем и доказательства, не понимая их по существу. По прошествии времени учащиеся забывают не только доказательства, но даже и формулировки теорем.

Современные компьютерные средства, в частности программа GeoGebra, которую свободно можно скачать с официального сайта www.geogebra.org, позволяют по-новому взглянуть на эти подходы.

Возможности использования программы GeoGebra для проведения геометрических опытов, иллюстраций формул и теорем, установления зависимостей между геометрическими величинами и т. п.

В верхней части рабочего окна имеется панель инструментов - строка с окошками с изображением инструментов.

С помощью этих инструментов можно:

• изображать точки;
• изображать отрезки, лучи и прямые, проходящие через данные точки;
• проводить прямые, параллельные или перпендикулярные данной прямой;
• строить угол заданной градусной величины;
• строить середину отрезка и биссектрису угла;
• изображать многоугольники, указанием их вершин;
• изображать правильные многоугольники, указанием двух их соседних вершин;
• изображать окружности с данным центром и данным радиусом или с тремя её точками;
• проводить касательные прямые к окружности;
• строить фигуру, симметричную данной относительно: а) точки; б) прямой;
• поворачивать фигуру вокруг данной точки на данный угол;
• находить длины отрезков, периметры многоугольников, величины углов, площади фигур;
• изменять стиль, толщину, цвет линий и многое другое.

Начнём с одной из основных теорем геометрии о сумме углов треугольника.

Теорема. Сумма углов треугольника равна 180 о .

Для проведения доказательства также можно воспользоваться программой GeoGebra. А именно, изобразим треугольник ABC и через его вершину C проведём прямую c , параллельную прямой AB

Внутренние накрест лежащие углы α и α1 при параллельных прямых AB , c и секущей AC равны, по ранее изученной теореме. В равенстве этих углов можно дополнительно убедиться, найдя их величину. Аналогично, внутренние накрест лежащие углы β и β1 при параллельных прямых AB , c и секущей BC равны. Перемещая вершину C , форму треугольника ABC можно менять, но указанные внутренние накрест лежащие углы будут оставаться равными.

Углы α1 , γ , β1 в сумме составляют развёрнутый угол, величина которого равна 180 о . Следовательно, и сумма углов треугольника ABC равна 180 о .

Одними из важных теорем геометрии являются теоремы о средних линиях треугольника и трапеции.

Теорема. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине.

Прежде чем представлять формулировку теоремы и её доказательство, учащимся можно предложить изобразить треугольник, ABC ; отметить середины D , E его сторон AC , BC соответственно; провести среднюю линию DE ; с помощью линейки измерить её и сторону AB треугольника; убедиться в том, что средняя линия DE равна половине стороны AB .

Для того чтобы убедиться в параллельности средней линии DE стороне AB , учащимся можно предложить измерить с помощью транспортира углы, образованные прямыми AB , DE и секущей AC ; убедиться, что углы CAB и CDE равны. Следовательно, средняя линия DE параллельна стороне AB .

Все эти построения и измерения можно провести в программе GeoGebra.

Перемещая вершины, форму треугольника можно изменять, но средняя линия треугольника будет оставаться параллельной одной из его сторон и равна её половине.

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме.

Прежде чем представлять формулировку теоремы и её доказательство, учащимся можно предложить изобразить трапецию ABCD ( AB || CD ); отметить середины E , F боковых сторон AD , BC соответственно; провести среднюю линию EF ; с помощью линейки измерить её и основания AB , CD ; убедиться, что средняя линия EF равна их полусумме.

Для того чтобы убедиться в параллельности средней линии EF основанию AB , учащимся можно предложить измерить с помощью транспортира углы, образованные прямыми AB , EF и секущей AD ; убедиться, что углы DAB и DEF равны. Следовательно, средняя линия EF параллельна основанию AB , значит, и основанию CD .

Все эти построения и измерения можно провести в программе GeoGebra.

Перемещая вершины, форму трапеции можно изменять, но её средняя линия будет оставаться параллельной основаниям и равна их полусумме.

Теорема. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу окружности.

Учащимся можно предложить изобразить окружность, вписанный в неё угол ACB и центральный угол AOB , опирающийся на ту же дугу; с помощью транспортира измерить эти углы и убедиться в справедливости теоремы.

То же самое можно сделать и в программе GeoGebra.

Перемещая точки A , B , C , вписанный и центральный углы можно изменять, но при этом величина вписанного угла будет оставаться равной половине величины соответствующего центрального угла.

Теорема. Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, заключённые между этой точкой и точками касания, равны.

Учащимся можно предложить изобразить окружность; выбрать какую-нибудь точку вне этой окружности; провести из неё касательные к окружности и отметить точки касания; измерить отрезки касательных от выбранной точки до точек касания; убедиться в равенстве этих отрезков.

То же самое можно сделать и в программе GeoGebra

Положение точки C можно изменять, но отрезки касательных будут оставаться равными

Теорема. Суммы противоположных сторон четырёхугольника, описанного около окружности, равны.

Учащимся можно предложить изобразить окружность; построить четырёхугольник, описанный около этой окружности; измерить его стороны и убедиться в том, что суммы противоположных сторон равны.

То же самое можно сделать и в программе GeoGebra.

А именно, сначала построим окружность. Затем отметим какую-нибудь точку A вне этой окружности и проведем через неё касательные. Отметим на этих касательных точки B , D и проведём через них касательные к окружности. Найдём точку C их пересечения. Сделаем касательные невидимыми. Построим четырёхугольник ABCD и измерим его стороны.

Перемещая точки A , B , D , форму четырёхугольника ABCD можно изменять, но суммы его противоположных сторон будут оставаться равными.

Теорема. Медианы треугольника пересекаются в одной точке (центроиде) и делятся в ней в отношении 2:1, считая от его вершин.

Учащимся можно предложить изобразить треугольник, провести в нём медианы и убедится, что они пересекаются в одной точке. С помощью линейки измерить расстояние от вершины треугольника до точки пересечения медиан и от неё до основания этой медианы. Убедиться в том, что первое расстояние в два раза больше второго.

Перемещая вершины, форму треугольника можно изменять, но его медианы будут пересекаться в одной точке, сохраняя отношение 2:1.

Теорема. Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке (ортоцентре).

Учащимся можно предложить изобразить: а) остроугольный; б) прямоугольный; в) тупоугольный треугольник. Затем провести в них высоты или их продолжения; выяснить, в каком случае высоты пересекаются в одной точке, а в каком – их продолжения.

Аналогичным образом можно поступить и с точкой пересечения биссектрис (центр вписанной окружности), точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника (центр описанной окружности).

Теорема (Пифагора). В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Прежде чем доказывать эту теорему, учащимся можно предложить изобразить прямоугольный треугольник; измерить его катеты и гипотенузу; убедиться в том, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Для этого сначала строим отрезок AB . Затем на нём, как на диаметре, строим окружность. Выбираем на окружности какую-нибудь точку C и строим прямоугольный треугольник ABC . На сторонах этого треугольника строим квадраты и находим их площади. Убеждаемся, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе.

Перемещая вершину C по окружности, форму треугольника можно изменять, но площадь квадрата, построенного на гипотенузе, будет оставаться равной сумме площадей квадратов, построенных на катетах