Деление обыкновенных дробей примеры

Деление обыкновенных дробей

Деления является обратным умножению. При делении неизвестный множитель  находится при известном произведении и другого множителя, где и сохраняется его данный смысл с обыкновенными дробями.

Если необходимо произвести деление обыкновенной дроби abab на cdcd, тогда для определения такого числа нужно произвести умножение на делитель cdcd, это даст в итоге делимое abab. Получим число и запишем его ab⋅dcab·dc, где dcdc является обратным cdcd числу. Равенства можно записать при помощи свойств умножения, а именно: (ab⋅dc)⋅cd=ab⋅(dc⋅cd)=ab⋅1=abab·dc·cd=ab·dc·cd=ab·1=ab, где выражение ab⋅dcab·dc является частным от деления abab на cd cd.

Отсюда получим и сформулируем правило деления обыкновенных дробей:

Определение 1

Чтобы разделить обыкновенную дробь abab на cdcd, необходимо делимое умножить на число, обратное делителю.

Запишем правило в виде выражения: ab:cd=ab⋅dcab:cd=ab·dc

Правила деления сводятся к умножению. Чтобы придерживаться его, нужно хорошо разбираться в выполнении умножения обыкновенных дробей.

Перейдем к рассмотрению деления обыкновенных дробей.

Пример 1

Выполнить деление 9797 на 5353. Результат записать в виде дроби.

Решение

Число 5353 – это обратная дробь 3535. Необходимо использовать правило деления обыкновенных дробей. Это выражение запишем так: 97:53=97⋅35=9⋅37⋅5=273597:53=97·35=9·37·5=2735.

Ответ: 97:53=273597:53=2735.

При сокращении дробей следует выделять целую часть, если числитель больше знаменателя.

Пример 2

Разделить 815:2465815:2465. Ответ записать в виде дроби.

Решение

Для решения нужно перейти от деления к умножению. Запишем это в такой форме: 815:2465=(2⋅2⋅2)⋅(5⋅13)(3⋅5)⋅(2⋅2⋅2⋅3)=133⋅3=139815:2465=2·2·2·5·133·5·2·2·2·3=133·3=139 

Необходимо произвести сокращение, а это выполняется следующим образом: 8⋅6515⋅24=(2⋅2⋅2)⋅(5⋅13)(3⋅5)⋅(2⋅2⋅2⋅3)=133⋅3=1398·6515·24=2·2·2·5·133·5·2·2·2·3=133·3=139

Выделяем целую часть и получаем 139=149139=149.

Ответ: 815:2465=149815:2465=149.

Деление необыкновенной дроби на натуральное число

Используем правило деления дроби на натуральное число: чтобы разделить abab на натуральное число nn, необходимо умножить только знаменатель на nn. Отсюда получим выражение: ab:n=ab⋅nab:n=ab·n.

Правило деления является следствием правила умножения. Поэтому представление натурального числа в виде дроби даст равенство такого типа: ab:n=ab:n1=ab⋅1n=ab⋅nab:n=ab:n1=ab·1n=ab·n.

Рассмотрим данное деление дроби на число.

Пример 3

Произвести деление дроби 16451645 на число 1212.

Решение

Применим правило деления дроби на число. Получим выражение вида 1645:12=1645⋅121645:12=1645·12.

Произведем сокращение дроби. Получим 1645⋅12=2⋅2⋅2⋅2(3⋅3⋅5)⋅(2⋅2⋅3)=2⋅23⋅3⋅3⋅5=41351645·12=2·2·2·2(3·3·5)·(2·2·3)=2·23·3·3·5=4135.

Ответ: 1645:12=41351645:12=4135.

Деление натурального числа на обыкновенную дробь

Правило деления аналогично правилу деления натурального числа на обыкновенную дробь: чтобы разделить натуральное число nn на обыкновенную abab, необходимо произвести умножение числа nn на обратное дроби abab.

Исходя из правила, имеем  n:ab=n⋅ban:ab=n·ba, а благодаря правилу умножения натурального числа на обыкновенную дробь, получим наше выражение в виде n:ab=n⋅ban:ab=n·ba. Необходимо рассмотреть данное деление на примере.

Пример 4

Делить 2525 на 15281528.

Решение

Нам необходимо переходить от деления к умножению. Запишем в виде выражения 25:1528=25⋅2815=25⋅281525:1528=25·2815=25·2815. Сократим дробь и получим результат в виде дроби 46234623.

Ответ: 25:1528=462325:1528=4623.

Деление обыкновенной дроби на смешанное число

При делении обыкновенной дроби на смешанное число легко можно свети к делению обыкновенных дробей.  Нужно совершить перевод смешанного числа в неправильную дробь.

Пример 5

Разделить дробь 35163516 на 318318.

Решение

Так как 318318 - смешанное число, представим его в виде неправильной дроби. Тогда получим318=3⋅8+18=258318=3·8+18=258.  Теперь произведем деление дробей. Получим 3516:318=3516:258=3516⋅825=35⋅816⋅25=(5⋅7)⋅(2⋅2⋅2)(2⋅2⋅2⋅2)⋅(5⋅5)=7103516:318=3516:258=3516·825=35·816·25=5·7·2·2·22·2·2·2·(5·5)=710

Ответ: 3516:318=7103516:318=710.