Делимость чисел

Делимость чисел

Учитель математики:

Тотикова елена сосланбековна

Делители

• Делители числа 36 – это 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
• Натуральные числа, на которые делится данное число без остатка, называется его делителем
• число 1 является делителем любого натурального числа. Любое натуральное число имеет ограниченное число делителей

Делители. Кратные

• Натуральное число, на которое делится данное число без остатка, называется его делителем
• Натуральное число, которое делится на другое натуральное число без остатка, называется кратным

Простые и составные числа

• Натуральное число, имеющее ровно два делителя, называется простым числом. Число 7 – простое: у него два делителя 1 и 7
• Натуральное число, имеющее более двух делителей, называется составным числом. Число 12 – составное; у него более двух делителей
• У числа 1 только один натуральный делитель – число 1. Поэтому 1 и не простое и не составное

Простые (только два делителя)

Число 1 (только один делитель)

Составные (более двух делителей)

Натуральное число

Признаки делимости

На 2

Последняя цифра числа четная

На 3

Сумма цифр числа делится на 3

На 4

Две последние цифры числа нули или образуют число, которое делится на 4

На 5

Последняя цифра числа 0 или 5

На 6

Число делится на 2 и на 3

На 9

Сумма цифр делится на 9

На 10

Последняя цифра числа 0

На 25

Две последние цифры числа 00, 25, 50 или 75

Разложение чисел на простые множители

• Любое составное число может быть представлено в виде произведения простых множителей. Запись составного числа в виде произведения простых чисел называется разложением составного числа на простые множители. Например: 90=2*3*3*5

Разложение на простые множители

• Всякое составное число можно разложить на простые множители
• При любом способе получается одно и то же разложение, если не учитывать порядка записи множителей
• При разложении чисел на простые множители используют признаки делимости

Разложение на простые множители

Наибольший общий делитель (НОД)

• Среди запасов белки на зиму имеется 45 орехов и 60 белых грибов. Какое наибольшее число одинаковых сухих пайков можно составить, если использовать все эти грибы и орехи

ДЕЛИТЕЛИ 60:

1 , 2, 3 , 4, 5 , 6, 10, 12, 15 , 20, 30, 60

ДЕЛИТЕЛИ 45:

1 , 3 , 5 , 9, 15 , 45

ОБЩИЕ ДЕЛИТЕЛИ:

1, 3, 5, 15 15 – наибольший общий делитель

НОД

• Одинаковых простых множителей у рассматриваемых чисел может и не быть.

НАПРИМЕР: 12=2*2*3; 55=5*11.

Значит, НОД (12; 55)=1

ТАКИЕ ЧИСЛА НАЗЫВАЮТСЯ ВЗАИМНО ПРОСТЫМИ

ДЕЛИТЕЛИ 55: 1, 5, 11, 55

ДЕЛИТЕЛИ 42: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42

ОБЩИЕ ДЕЛИТЕЛИ: 1 – НОД(55; 42)

Натуральные числа называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1.

Наименьшее общее кратное (НОК)

• Женя проезжает круговую дистанцию на мотоцикле за 75 секунд, а Валя – за 60 секунд. Какое наименьшее время им потребуется, чтобы они поравнялись на финише?

КРАТНЫЕ 75:

75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600 …

КРАТНЫЕ 60:

60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600 …

ОБЩИЕ КРАТНЫЕ:

300, 600, 900, 1200 ….

300 - НОК

НОК

• Если одно из данных чисел делится на все остальные числа, то это число и является наименьшим общим кратным данных чисел.

КРАТНЫЕ 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72 …

КРАТНЫЕ 15: 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105 …

КРАТНЫЕ 20: 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140 …

КРАТНЫЕ 60: 60, 120, 180, 240, 300, 360 …

НОК (12; 15; 20; 60) = 60

Если НОД (a; b) = 1, то НОК (a; b) = a * b

Также, НОК (a; b) * НОД (a; b) = a * b

Деление с остатком

• В том случае, если одно натуральное число не делится на другое, можно выполнить деление с остатком.
• Пусть, например, нужно разделить 325 на 4
• Действия записывают так: 325:4=81 (1 остаток).
• Окончательный результат деления с остатком числа 325 на 4 записывается так: 325=4*81+1
• ДЕЛИМОЕ = ДЕЛИТЕЛЬ * НЕПОЛНОЕ ЧАСТНОЕ + ОСТАТОК