Делимость натуральных чисел

Делимость натуральных чисел

Цель работы:

создать брошюру для ознакомления учеников с данной темой

Задачи

• изготовить продукт для уроков математики, который можно использовать на уроках и подготовке к заданиям ЕГЭ 
• Изучить материалы по данной теме
• Научиться применять полученные знания при сдаче ЕГЭ

Эти люди плохо разбираются в данной теме, но сейчас мы им все объясним!

Делимость чисел и понятия, связанные с ней

Само название “натуральные” говорит о простоте этих чисел. И правда, “nature” в переводе с латинского означает “природа”, то есть натуральные числа — это числа, которые мы используем при счёте чего-либо вокруг нас.

Делимость чисел  – это отношение, связь между целыми  числами . Целое число а делится на целое число b, если существует целое число q, такое что а = bq . При этом число b считается отличным от нуля. Число а называется  делимым , b называется делителем, а число q называется частным.

Признаки делимости

  Число 

  Число  делится на число  тогда и только тогда, когда

  2

  3

  Последняя цифра числа  делится на 2

  4

  Сумма цифр числа  делится на 3

  Число, составленное из двух последних цифр числа , делится на 4

  5

  Число  оканчивается цифрой 0 или 5

  6

  Число  делится на 2 и на 3

  7

  Знакочередующаяся сумма трёхзначных граней* числа  делится на 7

  8

  Число, составленное из трёх последних цифр числа , делится на 8

  9

  Сумма цифр числа  делится на 9

  10

  11

  Число  оканчивается цифрой 0

  12

  Знакочередующаяся сумма цифр числа  делится на 11

  Число  делится на 3 и на 4

  13

  25

  Знакочередующаяся сумма трёхзначных граней*  делится на 13

  Число, составленное из двух последних цифр числа , делится на 25

Все предельно просто!

Признак делимости на 3:

На 3 делятся только те числа, сумма цифр которых делится на 3 без остатка.

Например: 

• Число 426 делится на 3, потому что сумма цифр этого числа 4+2+6=12 – число, делящееся на 3 без остатка.
• Число 572 не делится на 3, потому что сумма цифр данного числа 5+7+2=14 – число, которое не делится на 3 без остатка.

Признак делимости на 7

Число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма утроенного числа его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на семь.

Например:

• 91 – делится на 7, т.к. 9⋅3+1=28, а 28:7=4.
• 105 – делится на 7, т.к. 10⋅3+5=35, а 35:7=5.
• 812 – делится на 7. Здесь следующая цепочка: 81⋅3+2=245, 24⋅3+5=77, 7⋅3+7=28, а 28:7=4.
• 302 – не делится на 7, т.к. 30⋅3+2=92, 9⋅3+2=29, а число 29 на 7 не делится.

Признак делимости на 17

Число делится на 17, если разность числа десятков и последней цифры, умноженной на пять, кратно 17.

Например:

• 272 делится на 17, 27 – 2 * 5 = 17 кратно 17
• 836 не делится на 17, 83 - 6 * 5=53 не кратно 17

Признак делимости на 11

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности сумм четных и нечетных разрядов равен нулю или делится на одиннадцать.

Например:

• 737 – делится на 11, т.к. |(7+7)-3|=11, 11:11=1.
• 1364 – делится на 11, т.к. |(1+6)-(3+4)|=0.
• 24587 – не делится на 11, т.к |(2+5+7)-(4+8)|=2, а 2 не делится на 11.

Старинные способы деления

01

Римский метод деления

1500 лет назад в Риме существовал способ деления.

в этом методе любой случай деления сводится к делению на круглые десятки, сотни, однако этот способ очень неудобный и долгий

Метод Галеры

02

Метод галеры, хотя и более сложный в записи, похож на современный метод деления столбиком. Так же, как и при делении столбиком, частное вычисляется по цифрам, начиная со старшего разряда: на каждом шаге подбирается одна цифра частного. В качестве цифры частного берётся наибольшая цифра такая, чтобы из делимого можно вычесть частичное произведение (произведение этой цифры на делитель, смещенный на соответствующее число разрядов), оставаясь в положительных числах. После этого из делимого вычитается частичное произведение, сам делитель сдвигается на один разряд влево, и процесс повторяется.

Старинные притчи

• Старинная восточная притча:

Притча о том, как 3 брата разделяли между собой 19 верблюдов, но н е сумев найти решения самостоятельно (ведь задача в «целых верблюдах» решения не имеет), братья обратились к мудрецу.

Деление решетом

ЭРАТОСФЕН  (около 275–194 до н. э.), один из самых разносторонних ученых античности. Эратосфен занимался самыми различными вопросами - ему принадлежат интересные исследования в области математики, астрономии и других наук. Трактаты Эратосфена были посвящены решению геометрических и арифметических задач.

Самым знаменитым математическим открытием Эратосфена стало так называемое «  решето  », с помощью которого находятся простые числа.

Наибольший общий делитель нескольких чисел – это наибольшее натуральное целое число, на которое эти числа делятся без остатка. Наибольший общий делитель обозначается следующим образом: НОД (18; 48) = 6

Наименьшее общее кратно нескольких чисел – это самое меньшее число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка. Например: НОК (18; 48) = 144

Задачи на признаки делимости

Известно, что произведение чисел от 1 до 15 равно 130767436*000 К сожалению, как вы видите, на месте одной цифры теперь клякса. Что за цифра должна быть на месте кляксы? В своем решении обойдитесь без громоздких вычислений.

  Может ли произведение четырех последовательных натуральных чисел оканчиваться на 116?

Тип 18 (из Решу ЕГЭ)

Пусть  q — наименьшее общее кратное, а  d — наибольший общий делитель натуральных чисел  x  и  y , удовлетворяющих равенству 3 x  = 8 y  − 29.

а)Может ли  q/d быть равным 170?

б)Может ли q/d  быть равным 2?

в)Найдите наименьшее значение q/d.

Натуральные числа от 1 до 9 распределены на три группы: в 1-й группе два числа, во 2-й— три и в 3-й— четыре.

а)Могут ли произведения чисел в каждой группе оказаться одинаковыми?

б) Могут ли суммы в каждой группе оказаться одинаковыми?

в) Из чисел 1-й группы составлено двузначное число  А , из чисел 2-й группы составлено трехзначное число  В , а из чисел 3-й группы составлено четырехзначное число  С . Какое наибольшее значение может принимать сумма  A + В + С ?

Выводы:

1)В процессе работы над проектом мы познакомились с историей развития признаков делимости.

2) Самостоятельно познакомились с некоторыми признаками делимости

3) Рассмотрели и решили задания ЕГЭ по этой теме.

Вы молодцы!

Получите медальку, за то что разобрались в этой теме!!