Делители и кратные

ДЕЛИТЕЛИ И КРАТНЫЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Делители и кратные

Признаки делимости

Контрольные вопросы

ВВЕДЕНИЕ

В этой теме мы откроем для себя язык, на котором говорят об этих отношениях. Мы узнаем, что такое делители числа (те «строительные кирпичики», из которых оно складывается) и кратные числа (его «потомки» в бесконечном числовом ряду). Мы освоим инструменты — признаки делимости, которые позволят, не производя долгих вычислений, определить, делится ли число на 2, 5, 10, 3 или 9.

ЧТО ЗНАЧИТ "ДЕЛИТСЯ НАЦЕЛО"?

Представьте, что у вас есть 30 конфет, и вы хотите разделить их поровну между 5 друзьями. Если каждый получит по 6 конфет, и ни одной не останется, это значит, что число 30 делится нацело на 5.

• Число 5 — это делитель числа 30.

• Число 30 — это кратное числа 5.

Иными словами, если a = b · c , где a, b, c — натуральные числа, то a делится нацело на b .

ДЕЛИТЕЛИ И КРАТНЫЕ: ОПРЕДЕЛЕНИЯ

ДЕЛИТЕЛЬ ЧИСЛА

КРАТНОЕ ЧИСЛА

Натуральное число b является делителем натурального числа a , если a делится нацело на b .

Натуральное число a является кратным натурального числа b , если a делится нацело на b .

Например, делители числа 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

Например, число 30 кратно каждому из чисел 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

Все эти формулировки верны! Вы можете использовать любую, которая вам удобна.

ВАЖНЫЕ ЗАМЕТКИ О ДЕЛИТЕЛЯХ И КРАТНЫХ

1

КОЛИЧЕСТВО ДЕЛИТЕЛЕЙ

Для любого натурального числа количество делителей конечно. Например, у числа 6 есть только делители 1, 2, 3, 6.

2

КОЛИЧЕСТВО КРАТНЫХ

Чисел, кратных данному, бесконечно много! Например, кратные числа 6: 6, 12, 18, 24, 30... и так далее!

3

НАИМЕНЬШИЙ ДЕЛИТЕЛЬ

Наименьший делитель любого натурального числа a — это число 1.

4

НАИБОЛЬШИЙ ДЕЛИТЕЛЬ

Наибольший делитель любого натурального числа a — это само число a.

5

НАИМЕНЬШЕЕ КРАТНОЕ

Наименьшее кратное любого натурального числа a — это само число a.

СУММА КРАТНЫХ: ИССЛЕДУЕМ СВОЙСТВА

Что произойдет, если мы сложим два числа, которые делятся нацело на одно и то же число?

Если каждое из чисел a и b делится нацело на число k , то и сумма a + b также делится нацело на число k .

Например, 21 делится на 3 (21 = 3 · 7), и 36 делится на 3 (36 = 3 · 12). Их сумма 21 + 36 = 57. И 57 тоже делится на 3 (57 = 3 · 19).

?

ГИПОТЕЗЫ

А что, если ни a , ни b не делятся нацело на k ? Делится ли их сумма a + b на k ?

Давайте выдвинем гипотезу: Если ни a , ни b не делятся нацело на k , то и a + b тоже не делится нацело на k .

КОНТРПРИМЕР — НАШ ПОМОЩНИК

!

Чтобы проверить гипотезу, нам поможет контрпример.

• Число 4 не делится нацело на 3.

• Число 8 не делится нацело на 3.

Их сумма: 4 + 8 = 12.

Внимание! Число 12 делится нацело на 3!

Это значит, что наша гипотеза неверна. Контрпример показал, что даже если слагаемые не делятся нацело, сумма может делиться.

ВЫВОД О СУММЕ НЕКРАТНЫХ ЧИСЕЛ

МОЖЕТ ДЕЛИТЬСЯ

МОЖЕТ НЕ ДЕЛИТЬСЯ

Если ни a , ни b не делятся нацело на k , то их сумма a + b может делиться нацело на k .

Если ни a , ни b не делятся нацело на k , то их сумма a + b может и не делиться нацело на k .

Пример: 4 (не делится на 3) + 8 (не делится на 3) = 12 (делится на 3)

Пример: 9 (не делится на 5) + 7 (не делится на 5) = 16 (не делится на 5)

СМЕШАННЫЙ СЛУЧАЙ: ДЕЛИТСЯ И НЕ ДЕЛИТСЯ

А что, если одно число делится, а другое нет?

Если число a делится нацело на число k , а число b не делится нацело на число k , то сумма a + b не делится нацело на число k .

• Число 35 делится нацело на 7 (35 = 7 · 5).

• Число 17 не делится нацело на 7.

Их сумма: 35 + 17 = 52.

Число 52 не делится нацело на 7.

ПОДВЕДЕМ ИТОГИ: КЛЮЧЕВЫЕ ПРАВИЛА

СМЕШАННАЯ СУММА

Если A делится на K, а B нет, то A+B не делится на K.

ДЕЛИМОСТЬ СУММЫ

Если A и B делятся на K, то A+B делится на K.

НЕДЕЛИМАЯ СУММА

Если A и B не делятся на K, то A+B может или не может делиться на K.

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ

ДЕЛИМОСТЬ НА 10: САМЫЙ ПРОСТОЙ ПРИЗНАК

ПРАВИЛО:

Число делится на 10, если его последняя цифра — ноль.

ПРИМЕРЫ:

• 90 = 9 · 10

• 210 = 21 · 10

• 1400 = 140 · 10

Эти числа оканчиваются на 0, поэтому они легко делятся на 10. А вот 187 на 10 не делится, потому что 187 = 180 + 7. Остаток равен последней цифре!

ОСТАТОК ОТ ДЕЛЕНИЯ НА 10

Замечали ли вы, что при делении числа на 10 остаток всегда равен его последней цифре?

173 ÷ 10 = 17 (ОСТ. 3)

4258 ÷ 10 = 425 (ОСТ. 8)

20005 ÷ 10 = 2000 (ОСТ. 5)

Последняя цифра 3.

Последняя цифра 8.

Последняя цифра 5.

ДЕЛИМОСТЬ НА 2: ЧЁТНЫЕ И НЕЧЁТНЫЕ ЧИСЛА

ЧЁТНЫЕ ЧИСЛА:

Числа, которые делятся на 2 без остатка. Они оканчиваются на 0, 2, 4, 6, 8 .

• 2, 14, 26, 58

НЕЧЁТНЫЕ ЧИСЛА:

Числа, которые не делятся на 2 без остатка (остаток 1). Они оканчиваются на 1, 3, 5, 7, 9 .

• 3, 5, 17, 349

Все нечётные числа при делении на 2 всегда дают в остатке 1. Например, 53 = 2 · 26 + 1.

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 2

1

2

ЕСЛИ ЧИСЛО ОКАНЧИВАЕТСЯ ЧЁТНОЙ ЦИФРОЙ (0, 2, 4, 6, 8), ТО ОНО ДЕЛИТСЯ НА 2.

ЕСЛИ ЧИСЛО ОКАНЧИВАЕТСЯ НЕЧЁТНОЙ ЦИФРОЙ (1, 3, 5, 7, 9), ТО ОНО НЕ ДЕЛИТСЯ НА 2.

ДЕЛИМОСТЬ НА 5

Как узнать, делится ли число на 5?

• Если чётное число умножить на 5, последняя цифра будет 0 (например, 16 · 5 = 80).

• Если нечётное число умножить на 5, последняя цифра будет 5 (например, 17 · 5 = 85).

Значит, если число оканчивается на 0 или 5, оно делится на 5!

2

1

ЧИСЛА, ОКАНЧИВАЮЩИЕСЯ НА ДРУГИЕ ЦИФРЫ, НЕ ДЕЛЯТСЯ НА 5.

ЧИСЛА, ОКАНЧИВАЮЩИЕСЯ НА 0 ИЛИ 5, ДЕЛЯТСЯ НА 5.

Примеры: 15, 35, 70, 3580.

Примеры: 17, 24, 5553.

ДЕЛИМОСТЬ НА 9

Для того чтобы узнать, делится ли число на 9, нам нужно... сложить его цифры!

ЕСЛИ СУММА ЦИФР ЧИСЛА ДЕЛИТСЯ НА 9, ТО И САМО ЧИСЛО ДЕЛИТСЯ НА 9.

Например, для числа 108: 1 + 0 + 8 = 9. Поскольку 9 делится на 9, то и 108 делится на 9.

ЕСЛИ СУММА ЦИФР ЧИСЛА НЕ ДЕЛИТСЯ НА 9, ТО И САМО ЧИСЛО НЕ ДЕЛИТСЯ НА 9.

Например, для числа 124: 1 + 2 + 4 = 7. Поскольку 7 не делится на 9, то и 124 не делится на 9.

ПРИМЕР: ПРОВЕРИМ ДЕЛИМОСТЬ НА 9

ЧИСЛО: 4869

ЧИСЛО: 98802

Сумма цифр: 4 + 8 + 6 + 9 = 27

Сумма цифр: 9 + 8 + 8 + 0 + 2 = 27

Делится ли 27 на 9? Да, 27 ÷ 9 = 3.

Делится ли 27 на 9? Да, 27 ÷ 9 = 3.

Вывод: 4869 делится на 9.

Вывод: 98802 делится на 9.

ДЕЛИМОСТЬ НА 3

Признак делимости на 3 очень похож на признак делимости на 9!

ЕСЛИ СУММА ЦИФР ЧИСЛА ДЕЛИТСЯ НА 3, ТО И САМО ЧИСЛО ДЕЛИТСЯ НА 3.

Пример: 7854. Сумма цифр: 7 + 8 + 5 + 4 = 24. Так как 24 делится на 3, то и 7854 делится на 3.

ЕСЛИ СУММА ЦИФР ЧИСЛА НЕ ДЕЛИТСЯ НА 3, ТО И САМО ЧИСЛО НЕ ДЕЛИТСЯ НА 3.

Пример: 3749. Сумма цифр: 3 + 7 + 4 + 9 = 23. Так как 23 не делится на 3, то и 3749 не делится на 3.

ДЕЛИМОСТЬ НА 3

ИТОГИ

ДЕЛИМОСТЬ НА 2

ДЕЛИМОСТЬ НА 10

Оканчивается на 0, 2, 4, 6, 8.

Оканчивается на 0.

ДЕЛИМОСТЬ НА 5

Оканчивается на 0 или 5.

ДЕЛИМОСТЬ НА 9

ДЕЛИМОСТЬ НА 3

Сумма цифр делится на 9.

Сумма цифр делится на 3.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Запишите все числа, являющиеся делителями каждого из чисел:

1) 15 и 20; 2) 7 и 21; 3) 24 и 36; 4) 20 и 21.

Запишите все двузначные числа, кратные 19.

Запишите все значения x , кратные числу 4, при которых верно неравенство 18 H x H 36.

Найдите число, кратное числам 9 и 11, которое больше 100. Сколько существует таких чисел?

Из чисел 34, 467, 435, 860, 648, 5 465, 8 216, 2 405, 1 020, 246 370 выпишите те, которые делятся нацело: 1) на 2; 2) на 5; 3) на 10.

Какие из чисел 68, 395, 760, 943, 1 270, 2 625, 9 042, 7 121, 1 734:

не делятся нацело на 2;

кратны 10;

делятся нацело на 5, но не делятся нацело на 10?

Найдите все значения y , кратные:

числу 3, при которых верно неравенство 143 H y H 162;

числу 9, при которых верно неравенство 92 H y H 128.

Какую цифру можно поставить вместо звёздочки в записи 3 47*, чтобы полученное число делилось нацело и на 2, и на 3?

.

ДЕЛИТЕЛИ И КРАТНЫЕ