Дидактические единицы по теме "Рациональные дроби"

Дидактические единицы

понятия

утверждения

правила (алгоритмы)

методы (методы решения, методы рассуждений)

Рациональная (алгебраическая) дробь

Рациональной (алгебраической) дробью называют выражение , где – многочлены; числитель рациональной (алгебраической) дроби, – знаменатель рациональной (алгебраической) дроби.

Основное свойство рациональной (алгебраической) дроби

Если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.

Для любых числовых значений переменных , где верно числовое равенство

Сокращение дробей

И числитель и знаменатель рациональной (алгебраической) дроби можно разделить на один и тот же многочлен (в частности, на один и тот же одночлен, на одно и то же отличное от нуля число); это – тождественное преобразование заданной рациональной (алгебраической) дроби, его называют сокращением рациональной (алгебраической) дроби.

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Рациональные (алгебраические) дроби с одинаковыми знаменателями складывают и вычитают по тому же правилу, что и обыкновенные дроби: составляют соответствующую рациональную (алгебраическую) сумму числителей, а знаменатель оставляют без изменений.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Алгоритм сложения (вычитания) рациональных (алгебраических) дробей.

1. Привести все дроби к общему знаменателю; если они с самого начала имели одинаковый знаменатель, то этот шаг алгоритма опускают.

2. Выполнить сложение(вычитание) полученных дробей с одинаковыми знаменателями.

Умножение дробей

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем дроби.

,

где – некоторые многочлены, причем – ненулевые многочлены.

Возведение дроби в степень

Чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень числитель и знаменатель и первый результат записать в числитель, а второй – в знаменатель дроби.

.

Деление дробей

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

где – некоторые многочлены, причем – ненулевые многочлены.

Обратная пропорциональность

Обратной пропорциональность называется функция, которую можно задавать формулой вида где –независимая переменная и – не равное нулю. Число – коэффициент обратной пропорциональности.

График функции

Кривую, являющуюся графиком обратной пропорциональности, называют гиперболой. Ветви гиперболы расположены в первом и третьем координатных углах, если и во втором и четвертом координатных углах, если Точка – центр симметрии гиперболы, оси координат – асимптоты гиперболы.

Свойства функции

1. Область определения функции состоит из всех чисел, кроме

3. Функция убывает на промежутках

4. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

5. Ни наименьшего, ни наибольшего значений у функции нет.

6. Функция непрерывна на промежутках и претерпевает разрыв в точке

Свойства функции

1. Область определения функции состоит из всех чисел, кроме

3. Функция возрастает на промежутках

4. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

5. Ни наименьшего, ни наибольшего значений у функции нет.

6. Функция непрерывна на промежутках и претерпевает разрыв в точке

Типовые задачи