Дифференцирование показательной и логарифмической функции

Алгебра и начала математического анализа

11 класс

Дифференцирование показательной и логарифмической функции

Число е. Функция y = e x , её свойства, график, дифференцирование

1. Построим для различных оснований а графики: 1. y = 2 x 3. y = 10 x 2. y = 3 x (2 вариант) (1 вариант) " width="640"

Рассмотрим показательную функцию y = а x , где а 1.

Построим для различных оснований а графики:

1. y = 2 x

3. y = 10 x

2. y = 3 x

(2 вариант)

(1 вариант)

1)Все графики проходят через точку (0 ; 1);

2) Все графики имеют горизонтальную асимптоту у = 0

при х  ∞ ;

3) Все они обращены выпуклостью вниз;

4) Все они имеют касательные во всех своих точках.

Проведем касательную к графику функции y = 2 x в точке х = 0 и измерим угол , который образует касательная с осью х

С помощью точных построений касательных к графикам можно заметить, что если основание а показательной функции y = а x постепенно увеличивается основание от 2 до 10, то угол между касательной к графику функции в точке х = 0 и осью абсцисс постепенно увеличивается от 35 ’ до 66,5 ’ .

Следовательно существует основание а , для которого соответствующий угол равен 45 ’ . И это значение а заключено между 2 и 3, т.к. при а = 2 угол равен 35 ’ , при а = 3 он равен 48 ’ .

В курсе математического анализа доказано, что данное основание существует, его принято обозначать буквой е.

Установлено, что е – иррациональное число, т. е. представляет собой бесконечную непериодическую десятичную дробь:

е = 2, 7182818284590… ;

На практике обычно полагают, что е ≈ 2,7.

График и свойства функции y = е x :

1) D (f) = ( - ∞ ; + ∞ );

2) не является ни четной, ни нечетной;

3) возрастает;

4) не ограничена сверху, ограничена снизу

5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего

значения;

6) непрерывна;

7) E (f) = ( 0; + ∞ );

8) выпукла вниз;

9) дифференцируема.

Функцию y = е x называют экспонентой .

В курсе математического анализа доказано, что функция y = е x имеет производную в любой точке х :

( e x ) = e x

(е 5х )' = 5е 5х

(е х-3 )' = е х-3

(е -4х+1 )' = -4е -4х-1

Пример 1 . Провести касательную к графику функции в точке x=1.

Решение :

1) =1

2) f( )=f(1)=e

3)

4) y=e+e(x-1); y = ex

Ответ :

y=ex

Пример 2 .

Вычислить значение производной функции в точке x = 3.

Решение :

Ответ :

4

Пример 3 .

Исследовать на экстремум функцию

Решение :

1 )

2)

х=0 и х=-2

3)

-

+

+

x

0

-2

4)

х = -2 – точка максимума

х = 0 – точка минимума

Ответ:

Натуральные логарифмы. Функция y = ln x , её свойства, график, дифференцирование

Если основанием логарифма служит число е , то говорят, что задан натуральный логарифм . Для натуральных логарифмов введено специальное обозначение ln (l – логарифм, n – натуральный).

График и свойства функции y = ln x

Свойства функции y = ln x :

1) D (f) = ( 0 ; + ∞ );

2) не является ни четной, ни нечетной;

3) возрастает на ( 0 ; + ∞ );

4) не ограничена;

5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

6) непрерывна;

7) Е (f) = ( - ∞ ; + ∞ );

8) выпукла верх;

9) дифференцируема.

0 справедлива формула дифференцирования " width="640"

В курсе математического анализа доказано, что для любого значения х 0 справедлива формула дифференцирования

Пример 4:

Вычислить значение производной функции в точке x = -1 .

Решение :

Ответ: 1,5

Дифференцирование функции

Например:

Дифференцирование функции

Решаем в классе:

№ 1616-1631(А,Б)

Домашнее задание:

ПАРАГРАФ 54, №1618-1624(В,Г)