Диофантовы уравнения

В математике следует помнить не формулы,

а процессы мышления.

В.П.Ермаков

Краткая теоретическая справка .

Уравнения вида f ( x , y , …) = 0 , переменные в котором считаются целочисленными, называются уравнениями в целых числах или диофантовыми уравнениями. Под одним решением неопределенного уравнения понимается совокупность значений неизвестных, которая обращает данное уравнение в верное равенство.

Задача

Допустим, в аквариуме живут осьминоги и морские звёзды. У осьминогов по 8 ног, а у морских звёзд – по 5. Всего конечностей насчитывается 39. Сколько в аквариуме животных?

Решение:

Пусть х - количество морских звёзд, у – количество осьминогов.

Тогда у всех осьминогов по 8у ног, а у всех звёзд 5х ног. Составим уравнение:

5х + 8у = 39.

Заметим, что количество животных не может выражаться нецелым или отрицательным числами. Следовательно, если х – целое неотрицательное число, то и

у=(39 – 5х)/8 должно быть целым и неотрицательным, а, значит, нужно, чтобы выражение 39 – 5х без остатка делилось на 8 .

Простой перебор вариантов показывает, что это возможно только при х = 3 , тогда

у = 3 .

1 , и c не делится на d , то уравнение целых решений не имеет. • если НОД (a, b) = d1 и c:d , то 2. Разделить почленно уравнение ax + by = c на d , получив при этом уравнение a 1 x + b 1 y= c 1 , в котором НОД ( a 1 , b 1 ) = 1 . " width="640"

Алгоритм решения в целых числах уравнения вида ax + by = c .

• 1. Найти наибольший общий делитель чисел a и b :

• если НОД (a, b) = d1 , и c не делится на d , то уравнение целых решений не имеет.

• если НОД (a, b) = d1 и c:d , то

2. Разделить почленно уравнение ax + by = c на d , получив при этом уравнение a 1 x + b 1 y= c 1 ,

в котором НОД ( a 1 , b 1 ) = 1 .

3. Найти целое решение ( x 0 , y 0 ) уравнения a 1 x + b 1 y= c 1 путем представления 1 как линейной комбинации чисел a и b .

4. Составить общую формулу целых решений данного уравнения:

x = x 0 c + bt

y = y 0 c - at

Методы решения некоторых нелинейных неопределенных уравнений.

Метод разложения

на множители

Метод

испытания остатков

Другие

методы решения

1. Метод разложения на множители.

Задание:

Решить уравнение в целых числах y 3 - x 3 = 91.

Решение:

1) Используя формулы сокращенного умножения, разложим правую часть уравнения на множители:

( y - x )( y 2 + xy + x 2) = 91 (1)

2) Выпишем все делители числа 91: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91

3) Проводим исследование. Заметим, что для любых целых x и y число

y 2 + yx + x 2 ≥ y 2 - 2| y || x | + x 2 = (| y | - | x |) 2 ≥ 0,

следовательно, оба сомножителя в левой части уравнения должны быть положительными. Тогда уравнение (1) равносильно совокупности систем уравнений:

4) Решив системы, получим: первая система имеет решения (5; 6), (-6; -5); третья (-3; 4),(-4;3); вторая и четвертая решений в целых числах не имеют.

Ответ: Уравнение (1) имеет четыре решения (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).

2. Метод испытания остатков.

Пример.

Решить в целых числах x ³ - 3 y ³ - 9 z ³ = 0

Решение.

1) Очевидно, что решением уравнения будет тройка чисел (0; 0; 0).

2) Выясним, имеет ли уравнение другие решения. Для этого преобразуем уравнение к виду:

x ³ = 3 y ³ + 9 z ³

Так как правая часть полученного уравнения делится на 3, то и левая обязана делится на три, следовательно, так как 3 - число простое, х делится на 3, т.е. х = 3 k , подставим это выражение в уравнение (3):

27 k 3 = 3 y ³ + 9 z ³ , откуда:

9 k 3 = y ³ + 3 z ³

следовательно, y ³ делится на 3 и y = 3 m . Подставим полученное выражение в уравнение (4):

9 k 3 = 27 m ³ + 3 z ³ , откуда

3 k 3 = 9 m ³ + z ³

В свою очередь, из этого уравнения следует, что z 3 делится на 3, и z = 3 n . Подставив это выражение в (5), получим, что k 3 должно делиться на 3.

Итак, оказалось, что числа, удовлетворяющие первоначальному уравнению, кратны трём, и сколько раз мы не делили бы их на 3, опять должны получаться числа, кратные трём. Единственное целое число, удовлетворяющее этому условию, будет нуль, т. е. решение данного уравнения (0; 0; 0) является единственным.

Другие методы решения уравнений.

При решении следующего уравнения применяется неравенство Коши, справедливое для любых положительных чисел:

Решить в целых числах уравнение

Решение:

1) Заметим, что слагаемые в левой части уравнения имеют одинаковый знак, а поскольку их сумма положительна, то каждое слагаемое также положительно. Поэтому к сумме, стоящей слева, применим неравенство Коши, получим:

=

Откуда, xyz = 1.

2) Исследуем возможные наборы трех целых чисел, которые в

произведении дают 1. Это могут быть тройки (1,1,1), (1,-1,-1), (-1,-1,1),

(-1,1,-1).

Непосредственной проверкой убеждаемся, что каждая из них

является решением исходного уравнения.

Ответ: (1,1,1); (1,-1,-1); (-1,-1,1); (-1,1,-1).

Решение уравнений в целых числах из Единого Государственного Экзамена (задания С6).

• Пример 1. Решить в натуральных числах уравнение х+ =

Решение:

Первое решение. Разложим 10/7 в цепную дробь

=1+

Из уравнения х + = получим

х + = 1 +

и из единственности разложения рационального числа в цепную дробь следует х=1, у=2, z =3.

Второе решение.

Преобразуем уравнение

х + = 1 +

Тогда х - целая, - дробная часть, поэтому

Из второго уравнения следует или у + = 2 +

откуда x=1 , у = 2, z = 3.

Ответ: х = 1, у = 2, z = 3 .

Пример 2. Решить в натуральных числах уравнение х + y + z = xyz .

Решение:

Пусть х =

то xyz =

Если бы х = у = z , то z 3 = 3 z или z 2 = 3,

что невозможно при целом z .

Значит, хотя бы два из чисел х, у, z неравные, поэтому ху

т.е. ху = 2, либо ху = 1.

Если ху = 2, то х = 1, у = 2, и из исходного уравнения найдем

z =3.

Если бы ху = 1, то х = у = 1, и из исходного уравнения получим 2

+ z = z , что невозможно.

Из найденного уравнения х = 1, у = 2, z = 3 найдем остальные

перестановками.

Ответ: (1; 2; 3), (1; 3; 2), (2; 1; 3),(2; 3; 1), (3; 1; 2), (3; 2; 1).

Выводы:

• при решении неопределенных уравнений в целых числах применяются свойства, оценка выражений, входящих в уравнение; выражение одной переменной через другую и выделение целой части дроби; метод разложения многочлена на множители , метод полного перебора всех возможных значений переменных, входящих в уравнение;
• для линейных уравнений с двумя переменными, т.е. уравнения вида ax+by=c, существует алгоритм решения;
• диофантовы уравнения встречаются в олимпиадных заданиях, заданиях Единого государственного экзамена развивая логическое мышление, повышая уровень математической культуры, прививая навыки самостоятельной исследовательской работы в математике .

Список используемой литературы:

• Башмакова, И.Г. Диофант и диофантовы уравнения. – М.: Наука, 1972
• Васильев, Н.Б. Задачи Всесоюзных математических олимпиад. – М., 1998.
• Материалы для подготовки к ЕГЭ
• Ресурсы Интернет