Дискретная математика

Данное учебное пособие представляет собой почти стенографическую запись лекций, читаемых мной на факультете вычислительной математики и кибернетики Казанского университета в течение двух семестров. Студен- ты получают специальность “Прикладная математика”, и это обстоятель- ство накладывает определенный отпечаток как на содержание курса, так и на форму его изложения. В части теории вероятностей основной упор делается на математические методы построения вероятных моделей и реа- лизацию этих методов на реальных задачах естествознания и практической деятельности. Каждое семейство распределений, будь то пуассоновское, по- казательное, нормальное, гамма и т.д., вводится через рассмотрение неко- торых реальных объектов, доставляющих систему математических посту- латов, из которых путем аналитических выкладок определяются распре- деления числовых характеристик этих объектов. Математический аппарат теории вероятностей излагается только в том объеме, который позволяет корректно вводить новые вероятностные модели. Такой подход обеспечи- вает неформальное отношение к использованию методов математической статистики - осознанию того, что без построения вероятностной модели не представляется возможным судить о точности и надежности статисти- ческого вывода. Именно поэтому в разделе “Математическая статистика” основное внимание уделяется методам вычисления риска конкретных ста- тистических правил и проблемам статистических решений с минимальным риском.

Вводя понятия условного математического ожидания и условного рас- пределения вероятностей, я ограничился рассмотрением только случаев дискретного и непрерывного распределений, поскольку студентам факуль- тета ВМК читается, как правило, весьма ограниченный курс теории меры и интеграла Лебега, – их редко знакомят с теоремой Радона–Никодима. Чтобы восполнить этот пробел, я привожу формулировку этой теоремы и определяю функцию плотности через производную Радона–Никодима, но, на мой взгляд, было бы крайне наивным полагать, что большинство моих слушателей воспримут строгое современное изложение концепции условно- го математического ожидания.

Учебное пособие содержит 25 лекций по теории вероятностей и 15 лек- ций по математической статистике. Каждая лекция слишком объемна для того, чтобы ее диктовать студентам; лекции рассчитаны на свободное изло-

жение материала с записью только определений и формулировок основных теорем. “Диктант” становится возможным, если вы располагаете дополни- тельно 7 лекциями.