Решение систем линейных уравнений с двумя переменными графическим методом

Математика уступает

Свои крепости лишь

Сильным и смелым

А.П. Конфорович

Графический метод решения систем линейных уравнений с двумя переменными

"Считай несчастным тот день и тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию»

Я.А. Каменский

Вокруг нас существует множество различных систем, о которых мы с вами даже не задумываемся

Среди всех этих систем особый интерес для нас представляют системы линейных уравнений с двумя переменными.

А позднее мы будем решать и с 3, и с 4, …переменными

Линейное уравнение с двумя переменными

Определение :

Уравнением с двумя переменными называется уравнение вида ax + by = c , где х и у – переменные, а, b и с- некоторые числа.

Решением уравнения с двумя переменными называется

пара значений переменных ,

обращающая это уравнение в верное равенство.

Что называют системой уравнений?

Рассмотрим два линейных уравнения:

1) y – 2 x = – 3 2) x + y = 3

Системой уравнений называется некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой. Фигурная скобка означает, что все уравнения должны выполняться одновременно.

y – 2 x = – 3

x + y = 3

Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара чисел, обращающая каждое уравнение системы в верное числовое равенство.

Решить систему уравнений - значит найти все её решения или установить , что их нет.

Графический способ решения систем линейных уравнений

• Построить в координатной плоскости графики уравнений системы.
• Если прямые, являющиеся графиками линейных функций пересекаются , значит система имеет единственное решение.

• Если прямые параллельны, то система не имеет решений.

• Если прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решений.

Графический способ решения систем линейных уравнений предполагает построение графиков каждого из уравнений системы в одной системе координат и исследование их взаиморасположения

• Если прямые, являющиеся графиками линейных функций пересекаются , значит система имеет единственное решение.

• Если прямые параллельны, то система не имеет решений.

• Если прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решений.

Рассмотрим на примерах

Решение системы линейных уравнений графическим способом

Выразим у

через х

у – х = 2,

у + х = 10;

y

y=x+2

10

у = х + 2,

у = – х + 10;

Построим график первого уравнения

6

у = х + 2, линейная функция,

график прямая

y=10 - x

х

0

-2

у

2

0

2

1

Построим график второго уравнения

1

0

4

10

x

-2

у =– х+ 10, линейная функция,

график прямая

х

0

10

у

0

10

Ответ: (4; 6)

Алгоритм решения системы уравнений графическим способом

1 . Приводим оба уравнения к виду линейной функции y = k x + b .

2. Составляем расчётные таблицы для каждой функции.

3. Строим графики функций в одной системе координат.

4. Определяем число решений:

• если прямые пересекаются, то решением системы являются координаты точки пересечения графиков функций;
• если прямые параллельны, то решений нет;
• если прямые совпадают, то решений бесконечное множество .

5. Записываем ответ.

Графический метод решения системы x + y = 3 y – 2 x = – 3

у = 3 – x ,

линейная функция,

график прямая

x

y

A(0;3)

D(3;3)

3

0

0

3

M(2;1)

у =1

B(3;0)

X=2

у = 2x – 3 ,

линейная функция,

график прямая

y

x

0

– 3

C(0; – 3)

3

3

Ответ: (2; 1)

Решим систему уравнений : у = 0 ,5 x+2 у = 0,5x-1

у =0,5x+2

x

y

B(2;3)

0

2

2

A(0;2)

3

D(2;0)

C(0;-1)

у =0,5x-1

y

x

0

-1

Графики функций параллельны.

0

2

Ответ: Система не имеет решений.

Система

у =x+3

у =x+3

у =x+3 , линейная функция,

график прямая

D( 1 ; 4 )

y

x

A(0;3)

3

0

C( -1 ; 2 )

- 3

0

B( - 3;0)

у =x + 3 , линейная функция,

график прямая

y

x

Графики функций совпадают.

4

1

-1

2

Ответ: система имеет бесконечное множество решений

Частные случаи пересечения графиков линейных функций (памятка)

1) Решите систему уравнений :

у

1) 3 х +2 у = 7,

у = -1,5 х + 3,5

х у

1 2

3 -1

2) 2 х + 4 у = 2,

у = 0,5 – 0,5 х

х у

1 0

3 -1

4

3

2

1

1

3

х

1

2

Ответ: (3;-1) .

2 ) Решите систему уравнений :

у

1) х – у = -1,

у = х + 1

х у

0 1

2 3

2) 2 х + у = 4,

у = 4 - 2 х

х у

0 4

2 0

4

3

2

1

1

3

х

1

2

Ответ: (1;2).